- А. средняя из нескольких величин получается разделением суммы этих величин на их число. Так, А. средняя из a ₁, a₂,:a_n есть a = (a ₁+a₂ +:+а _n). Главные свойства А. средней содержатся в следующих двух положениях: 1) Сумма уклонений всех данных от их А. средней равна нулю: так, из написанной формулы очевидно следует: (a ₁-a) + (a₂-a) +:+ (a_n -а) = 0, что и требовалось доказать. 2) Сумма квадратов уклонений отдельных данных от арифметической средней имеет наименьшую величину, т. е. (a ₁-a)² + (a₂-a)² +:+ (a_n-a)² = minimum, так как если вместо а мы возьмем a+h, то получим для новой суммы квадратов уклонений ∑(а _i -а+h) ² = ∑(а _i-a)² + 2h∑(a_i-a) + nh², a так как ∑(a _i -a) = 0, то эта сумма = ∑(а _i-a)² + nh², что очевидно больше ∑(a _i-a)², что и требовалось доказать.

А. средняя имеет обширное применение и громадное значение во всех научных измерениях или счислениях. Если произведен ряд наблюдений над величиною какого-нибудь объекта и для этой величины найдены различные значения а ₁, а ₂... a_n, то вероятнейшее значение измеренной величины есть а - арифмет. средняя из отдельных наблюдений. Это имеет место в том случае, когда измерения а ₁ одинаково точны и достоверны, т. е. равновески. Если же точность этих измерений не одинакова, если, напр., результат a ₁ получен из p ₁ отдельных наблюдений, результат а ₂ из р ₂ таких же наблюдений,... результат а из р _n таких же наблюдений, то вместо простой А. средней должно взять величину а = (p ₁a₁ + p₂a₂ +:+ p_na_n)/(p₁ + p₂ +:+ p_n), короче ∑p _ia_i:∑p_i.

Должно различать два рода А. средних; в одном случае средняя выражает вероятнейшую величину какого-нибудь объекта измерения, напр. вероятнейший рост человека, измеренного несколько раз. В другом случае А. средняя есть фиктивная величина, изображающая средний тип группы различных предметов, напр. средний рост большого числа людей. Иногда различают еще третий вид средних, который получается в некоторых исследованиях как точный результат из двух чисел, в которых в одном случае некоторая посторонняя причина действовала в одном направлении, в другом случае, с такою же силою, в противоположном; напр. в астрономических наблюдениях кульминационная ошибка при двух противоположных положениях трубы или при выводе широты места из наблюдений двух звезд в нижней и верхней кульминации их.

Принцип А. средней при выводе вероятнейшего результата, вероятно, применялся, более или менее случайным образом, уже в древности; изречение αριστον μέτρον, вероятно, прилагалось не только к философским теориям. Однако до Лежандра и в особенности Гаусса, т. е. до XIX-го столетия, не существовало теории ошибок и систематических способов вычисления результатов наблюдений, а понятие средней как типа было впервые прочно установлено в науке трудами Кетле, в середине настоящего столетия. А. средняя и приложение ее к выводу вероятнейшего результата из ряда несогласных наблюдений породила целую литературу, до сих пор еще не сказавшую последнего слова о пределах применимости этого способа. Скиапарелли показал, что А. средняя есть единственная функция системы чисел, обладающая следующими двумя свойствами: 1) она не изменяется от изменения единиц, в которых выражены эти числа, т. е. аналитически: если все данные числа увеличить в m. раз, то и средняя увеличится в m. раз, и 2) она не изменяется от перемещения точки нуля, от которой отсчитываются данные числа, т. е. если ко всем данным числам прибавить некоторое число h, то и к средней прибавится то же число h. А. средняя может рассматриваться как основание метода наименьших квадратов (см. это сл.) или как следствие или частный случай его (см. Ошибки).