Арифметически-гармоническая средняя

- А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю a ₁ и гармоническую среднюю h ₁, т. е. найдем a ₁ = 1/2(a+h) и h ₁ = 2ah/(a+h); таким же образом составим а ₂ = 1/2(a₁+h₁) и h ₂ = 2a₁h₁/(a₁+h₁) и т. д. Числа a, a ₁, a₂: и h, h ₁, h₂: будут представлять - первые убывающий ряд, вторые - возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, h ₁ = 2ah/(a + h) = ah/a₁, след. а ₁h₁ = ah; точно так же a ₂h₂ = a₁h₁ = ah, что треб. док., наконец, a ⁿhⁿ = h. Но а _∞ = h_∞ = b², если b есть АН между а и h; итак, b = √ah, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. АН (а, 1) = √а. Итак, чтобы найти √a, можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю a ₁ из а и 1 и гармоническую среднюю h ₁ из а и 1; затем арифметическую среднюю a ₂ из a ₁ и h ₁ и гармоническую среднюю h ₂ из a ₁ и h ₁ и т. д., числа а _i и h _i будут быстро сходиться и стремиться к пределу = √а. Прим.

итак, √2 = 1.4142186, что и требовалось доказать.