- Пусть будет ряд:

(A)::u₀, u₁, u₂, u₃,::

Если из этого ряда через вычитание каждого члена из последующего выведем другой ряд

(B)::u₁ - u₀, u₂ - u₁, u₃ - u₂::

равным образом, через вычитание каждого члена ряда (В) из следующего составим ряд

(C)::u₂ - 2u₁+u₀, u₃ - 2u₂+u₁, u₄ - 2u₃+u₂,::

и другие подобные ряды (D), (E): (N), то (В), (С): по отношению к (А) будут первым, вторым и т. д. разностным рядом. Если n-ый разностный ряд будет состоять из равных членов, отличных от нуля, то такой ряд называется арифметическим рядом n-го порядка. Очевидно, что члены (n + 1)-го, (n + 2)-го и т. д. разностных рядов будут равны нулю. Отсюда легко заключить, что арифметическая прогрессия a, a+b, a+2b, a+3b,: есть арифметический ряд 1-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.b.

Ряд a ², (a + b)², (a + 2b)², (a + 3b)³: есть арифметический ряд 2-го порядка, где постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.b ², и т. д.

Ряд a ⁿ, (a + b)ⁿ, (a + 2b)ⁿ, (a + 3b)ⁿ: есть арифметический ряд n-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.3:.nb _n. Очевидно, что исследование свойств их приводится к исчислению разностей.