— алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно:

(х + а) ⁿ = х ⁿ + n/1(ax^n—1) + [n/(n—1)/1.2](а ² х ^n—2) + …[n(n—1)(n—2)…(n—m+1)/1.2.3…m](aⁿx^n—m) + …

или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2.3…n:

(х + а) ⁿ = ∑_m[n!/{m!(n — m)}](!x^n—ma^m

Формула эта была впервые дана Ньютоном в 1676 г. без доказательства. Она высечена на гробнице Ньютона, в Вестминстерском аббатстве, в Лондоне, хотя далеко не может считаться одним из важнейших открытий Ньютона.

Доказательство формулы Б. для целого показателя получается легко, как частный случай из более общей формулы, выражающей произведение произвольного числа двучленов. Легко убедиться непосредственным умножением, что для случая n = 2 или n = 3 имеет место формула:

(x + a₁)(х + а ₂)…(х + а _n) = х ⁿ + S_n¹x^n—l + S_n²x^n—2 + … + S_nⁿ

где S _n¹ есть сумма данных количеств a ₁, a₂ ... а _n, S_n² сумма произведений их по два, — S _nⁿ произведение всех этих количеств. А затем можно доказать, что если она верна для n, то верна и для n +1 множителей. Ибо, прибавив один множитель х + а _n+1, получим прямым умножением

(x + a₁)(x + a₂)…(x + a_n—1) = х ^n—1 + (S_n¹ + a_n+1)xⁿ + (S_n² + S_n¹a_n—1)x^n—1 + … + S_nⁿa_n

и в то же время очевидно, что

S_n¹ + a_n+1 + 1 = S¹_n+1

S_n² + S_n¹a_n+1 = S²_n+1

и т. д., так что правая часть последнего равенства есть

xⁿ⁺¹ + S¹_n+1xⁿ + S²_n+1 х ^n—1 + … + (S_n+1)ⁿ⁺¹

и т. д. Пусть теперь все а равны между собой и равны, например, а, тогда:

S₁ = na

S₂ = [n(n — 1)/1.2]а ²…

и получим (х + а) ⁿ = xⁿ + nax^n—1 + [n(n — 1)/1.2](a²x^n—2) + …

Таким образом верность формулы Ньютона для n целого, положительного доказана. Но уже и сам Ньютон показал, что она верна и для дробного, и для отрицательного. Приведем доказательство Эйлера для n какого угодно. Рассмотрим выражение:

1 + nx + [n(n — 1)/1.2(x²)] + [n(n — 1)(n — 2)/1.2.3]x³ + …

Для n целого оно равно (1 + x) ⁿ. Пусть для всякого n оно есть вообще f(n). Точно так же пусть подобное же выражение с заменой n на m есть f(m). Перемножая, находим, с одной стороны, f(n)f(m), с другой стороны — выражение, закон составления коэффициентов которого нам известен из случая n, m целых, именно:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m — 1)/1.2]x² + [(n + m)(n + m — 1)(n + m — 2)/1.2.3]x³ + …

а это есть очевидно f(n+m). Итак, мы получили f(n)f(m) = f(n + m); точно так же для произвольного числа множителей f(n ₁)f(n₂) ... f(n _μ) = f(n₁+n₂+…+n _μ); полагая n ₁ = n₂ =…= n _μ = λ / μ, имеем

Таким образом формула Б. Ньютона распространяется на показатели, представляющие соизмеримую дробь. А отсюда легко перейти и к несоизмеримому показателю. Точно так же формула f(m)f(n) = f(m+n) дает сразу обобщение и на случай отрицательного показателя. Ибо при m+n = 0 имеем

f(n)f(–n) = f(0) = 1, т. е. f(–n) = 1/f(n) или

f(–n) = (1 + x)^–l = nx + [n(n — 1)/1.2]x² — [n(n — l)(n — 2)/1.2.3]x³ + … и т. д.