— начертим на плоскости какую-либо кривую второго порядка и из какой-либо точки А проведем (см. черт.) две касательные к этой прямой; прямая аа ₁, проходящая через точки касания, называется полярой полюса А относительно взятой кривой. Другой полюс В (см. черт.) будет иметь полярой прямую bb₁; найдем точку p пересечения этих поляр. В аналитической геометрии доказывается, что если возьмем новый полюс С на прямой, соединяющей два первые полюса А и В, то поляра cc₁ этого полюса будет проходить через точку p пересечения поляр аa ₁, и bb₁. Первоначально подобное же свойство было доказано Монжем для поверхностей второго порядка; именно он показал, что если вершина конуса, описанного около поверхности второго порядка, движется по плоскости, то плоскость кривой соприкосновения проходит через одну и ту же точку.

Если через какой-либо полюс А провести прямую и определить точки пересечения ее α и β с коническим сечением и точку Е пересечения с полярой полюса А, то окажется, что:

AE = 2A α ∙A β /(A α + A β )

и отсюда:

А Δ∙АЕ — АΔ∙Аа = A α ∙A β — A α ∙ АЕ ... (1),

но (см. черт.): АЕ — Aа = аE,

поэтому из равенства (1) следует, что

Аа∙ βЕ/AΔ ∙ α E = —1,

т. е. что секущая разделяется точками А, а, Е и β в гармоническом отношении (см. Ангармоническое отношение).

Всякому полюсу, где бы он ни находился, соответствует своя поляра; так, поляра полюса p есть прямая АВС (см. черт.).

По отношению ко взятому за основание поляр и полюсов коническому сечению всякой кривой линии S соответствует взаимно-поляpная ей кривая s, которая определится как геометрическое место полюсов, взаимных касательным прямым кривой S. Обе кривые взаимно-полярны относительно основного конического сечения, так что полюсам, находящимся на кривой S, соответственными полярами служат касательные кривой s.

Теория взаимных поляр служит в геометрии основанием принципа двойственности, состоящего в том, что каждой теореме, относящейся к каким бы то ни было кривым или прямым S', S", S"', ... отвечает ей взаимная теорема, относящаяся ко взаимным (по отношению к основному коническому сечению) кривым s', s", s"' .... Например, теореме:

"Поляры полюсов, находящихся на одной прямой, пересекаются в одной точке — в полюсе прямой", соответствует другая, ей взаимная: "полюсы поляр, проходящих через одну точку, находятся на одной прямой — поляре точки".