Вихревые движения жидкости

(Wirbelbewegungen, Vortices). — Вихри или водовороты образуются на границе текущей струи и стоячей жидкости, имеют вид замкнутых колец (подобно кольцам табачного дыма) или же шнуров, оканчивающихся на поверхности жидкости. Гидродинамическая теория вихревых движений впервые дана Гельмгольцем в его замечательном мемуаре "Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichunge n, welche den Wirbelbewegungen entsprechen", напечатанном в 1858-м г. в 65-м томе журнала Крелле. Еще в 1845 профессор Штокс (G. G. Stokes) показал, что при деформации сплошного тела перемещение каждого ничтожно малого объемного элемента его, совершающееся в течение бесконечно малого элемента dt времени, может быть разложено на следующие три части: 1) на поступательное перемещение, общее с перемещением одной из точек этого элемента (назовем эту точку — точкою М); 2) на угловое перемещение, или вращение всего элемента вокруг точки M, и 3) на однородную деформацию без вращения, состоящую в расширениях или сжатиях параллельно трем взаимно перпендикулярным осям, проходящим через точку М. Означим через u, v, w проекции на неподвижные оси координат скорости какой-либо точки тела и через x, у, z ее координаты. Если тело деформируется сплошными образом, без разрыва частей, то скорости u, v, w будут сплошными функциями координат x, у, z, и все девять производных от u, v, w будут иметь конечные величины во всех точках тела.

Штокс показал, что проекция на оси координат углового перемещения элемента объема (вокруг точки М) выражаются так: ξ dt, η dt, ζdt, где

ξ = ½[(δ v/ δ z) — (δ w/ δ y)]

η = ½[(δ w/ δ x) — (δ u/ δ z)]

ζ = ½[(δ u/ δ y) — (δ v/ δ x)]

Величина углового перемещения равна qdt, где q = √(ξ ² + η ² + ζ ²), и мгновенная ось его составляет с осями координат углы, косинусы которых равны ξ /q; η /q; ζ /q.

Решение общих дифференциальных уравнений гидродинамики неизвестно даже для жидкостей несжимаемых и совершенных, т. е. не обладающих внутренним трением; только в тех случаях, когда силы, действующие на жидкость, имеют потенциал и когда: u = δφ / δ x, v = δφ / δ y, w = δφ / δz, где φ есть функция от x, у, z, t, называемая потенциалом скоростей, может быть указан путь решения, и даже в некоторых случаях может быть найдено и самое решение. В этих случаях, т. е. когда скорости имеют потенциал, угловые скорости q равны нулю. Гельмгольц же обратил внимание на те случаи, в которых скорости не имеют потенциала хотя в некоторой части жидкости. Он назвал вихревою линиею всякую такую кривую, которая, проходя через точки жидкости, имеющие угловые или вращательные скорости q, касается к направлениям осей этих угловых скоростей. Относительно этих линий он показал, что они всегда состоят из тех же точек жидкости и переносятся вместе с ними.

Если через все точки периметра бесконечно малой площадки провести вихревые нити, то геометрическое место этих линий будет некоторая трубчатая поверхность; пространство, заключающееся внутри этой поверхности, Гельмгольц назвал вихревым шнуром (по-английски vortex). Относительно вихревых шнуров он доказал следующее:

1) Каждый вихревой шнур состоит из тех же частиц жидкости во все время движения.

2) Произведение из площади поперечного сечения шнура и угловой скорости q есть величина одинаковая на всем протяжении шнура (это произведение названо английскими учеными так: strength of the vortex, что можно перевести словами: сила шнура).

3) Каждый вихревой шнур либо образует замкнутое кольцо, либо простирается до границ жидкости.

4) Сила шнура остается неизменною с течением времени.

Последнее, 4-е, справедливо только для жидкости совершенной, не обладающей внутренним трением.

Существование какого-либо вихревого шнура в жидкости требует, чтобы в остальной части жидкости существовали надлежащие течения. Гельмгольц показал, что каждый элемент вихревого шнура обусловливает в каждой точке жидкости скорость, перпендикулярную к плоскости, проходящей через эту точку и через ось элемента шнура; величина этой скорости должна быть:

(σ /2 π)[(sin(q,r))/r²]ds,

где: ds — длина элемента шнура по его оси, т. е. по направлению q; r — расстояние точки жидкости от элемента; sin (q, r) — синус угла, составляемого направлением оси элемента с направлением r, и σ — сила шнура. Полная скорость в рассматриваемой точке жидкости должна быть составною из скоростей, обусловливаемых всеми элементами шнура. Следует в особенности обратить внимание, что скорость, обусловливаемая существованием вихревого шнура силы σ, имеет такую же величину и направление, какие имеет сила, действующая на магнитный полюс, находящийся на месте рассматриваемой точки жидкости, со стороны гальванического тока силы σ, находящегося на месте вихревого шнура. На этом основывается решение всех вопросов о взаимодействиях вихревых шнуров и о движениях их в жидкости. Сам Гельмгольц рассмотрел взаимодействия прямолинейных параллельных шнуров бесконечно малой толщины и движение их в жидкости и также движения замкнутых кольцевых круговых шнуров, центры которых остаются на одной прямой и плоскости которых перпендикулярны к ней. Два параллельных шнура сообщают друг другу перемещения, перпендикулярные к проходящей через них плоскости. Если говорить о следах их на плоскости, к ним перпендикулярной, то можно выразиться так, что они будут описывать концентрические окружности, причем взаимное расстояние между ними останется неизменным. В том случае, когда вращения в шнурах совершаются в одинаковые стороны, центр окружностей будет делить расстояние между следами шнуров в отношении, обратно пропорциональном их силам. Направление движений по окружностям одинаково с направлением вращений в шнурах. Когда вращения в шнурах противоположны, то центр окружностей будет находится вне кратчайшего расстояния со стороны сильнейшего шнура. Если силы противоположных (по вращениям) шнуров равны, то шнуры будут двигаться с одиноковою скоростью, равною σ / π = 1/a, по направлению, перпендикулярному к их кратчайшему расстоянию. Здесь σ есть величина силы каждого шнура, а — величина расстояния.

Чрезвычайно своеобразны и интересны движения нескольких параллельных прямолинейных шнуров в неограниченной жидкости и в жидкости, ограниченной цилиндрическими поверхностями с производящими параллельными шнурам. Описание этих движений без чертежей затруднительно; многое можно найти в книге А. В. Basset: "A treatise on hydrodynamics", Vol. II, 1888).

Относительно замкнутого вихревого кольца с бесконечно малым сечением Гельмгольц показал, что радиус его E остается неизменным и что оно движется по направлению, перпендикулярному к его плоскости, туда, куда движется жидкость внутри отверстия кольца. Если сила шнура равна σ и е — радиус кругового поперечного сечения кольца, то величина скорости его равна: σ /2 πR[log(8R/e) — 1], а величина скорости жидкой частицы, находящейся в центре кольца, равна σ /R.

Развитию и усовершенствованию теории вихревых движений наиболее всего содействовали сэр В. Томсон и J. Thomson. Первый изложил теорию вихревых движений в статье "On vortex motion", напечатанной в 1869 г. в "Edinburg Transactions", и затем написал еще несколько других мемуаров в последние годы; второй напечатал в 1883 году сочинение о движении вихревых колец ("A treatise on the motion of vortex rings"), удостоенное премии Адамса, в котором он рассматривает различные вопросы об устойчивости и взаимодействиях вихревых колец и разъясняет теорию вихревых атомов В. Томсона, очерк которой был дан последним еще в 1867 г. в "Philosophical Magazine". На некоторые результаты, полученные этими авторами, мы здесь укажем.

Существует довольно давно способ воспроизведения колец дымных и жидких. Если взять картонную коробку с небольшим круговым или даже некруговым отверстием в одной из сторон, напустить в нее дыму и постукивать по дну или крышке, то каждый раз из отверстия выскакивает дымное кольцо. Подобным же образом можно воспроизвести кольца окрашенной жидкости в воде. Несмотря на то, что отверстие может быть, напр., треугольным, и несмотря на колебания воздуха, кольцо устойчиво сохраняет при движении правильный вид. Эта устойчивость кругового кольца подтверждена теоретически обоими Томсонами. Сэр В. Томсон доказал, что оно устойчиво относительно искажения его поперечного сечения, а Дж. Томсон доказал, что оно устойчиво в смысле сохранения кругового вида оси шнура. Дж. Томсон рассмотрел влияние друг на друга двух колец при их взаимной встрече. Он, однако, нашел вынужденным ограничить условия встречи тем, чтобы даже при ближайшем расстоянии их центров это расстояние было во много раз более их диаметров. Оказывается, что при такой встрече колец происходят не только изменения направлений их движений, но также изменяются их диаметры (одно увеличивается, а другое уменьшается), и, кроме того, оси колец получают периодически колебания около своего кругового вида. Все эти обстоятельства зависят от величины кратчайшего расстояния между направлениями движений колец, от величины кратчайшего расстояния между центрами колец и от того, которое из колец проходит первое через оконечность кратчайшего расстояния между направлениями движений.

Сэр В. Томсон вообще показал, что если вихревое кольцо проходит близ твердого тела, то оно как бы притягивается к нему; J. Thomson, рассматривая изменение движения вихревого кольца вблизи шара, получил результат с этим согласный и, кроме того, определил изменение радиуса кольца.

При приближении вихревого кольца к поверхности твердого тела, ограничивающего жидкость, оно изменяет свой вид и движение, но вместе с тем и само как бы производит давление на ближайшую часть поверхности. Сэр В. Томсон основал на этом кинетическую теорию газов, предполагая, что каждый атом есть вихревое кольцо и каждая молекула многоатомного газа есть соединение таких вихревых колец. Эта теория объясняет отступления газов от закона Бойля и Мариотта, что не достигается обыкновенною кинетическою теориею газов даже и при предположении взаимодействия между атомами, зависящего от расстояний между ними.