кривых линий и поверхностей. Всякая поверхность, за исключением плоскости, имеет выпуклости и вогнутости; например, сфера выпукла с наружной стороны и вогнута с внутренней. Понятия о выпуклости и вогнутости свойственны также и кривым линиям, плоским и имеющим двоякую кривизну. Возьмем какую-либо плоскую кривую, например круг, эллипс, гиперболу, параболу, лемнискату или один из овалов Кассини, Декартов лист, циссоиду, одну из конхоид, одну из улиток Паскаля, циклоиду и др. У некоторых из этих кривых есть особенные точки, а именно кратные точки у лемнискаты, Декартова листа, у некоторых конхоид и паскалевых улиток, точки возврата у циклоид, эпи— и гипоциклоид; кроме того, у некоторых кривых встречаются угловые точки и точки остановки. За исключением особенных точек, во всякой точке кривой может быть проведена к ней одна касательная прямая (в точках же кратных и угловых — две или несколько), причем (за исключением случаев, указанных ниже) близлежащие к точке касания части кривой находятся по одну сторону касательной, как, например, во всякой точке круга или кривых второго порядка. Та сторона кривой, которая обращена к касательной, всегда выпукла, а противоположная сторона ее вогнута; на нормали, восстановленной с вогнутой стороны кривой, находится центр кривизны кривой. Исключение представляют точки перегиба кривых (таковые имеет, например, синусоида), в которых кривая переходит с одной стороны касательной на другую; в точках перегиба кривизна кривой равна нулю и центр кривизны находится на бесконечности по нормали. Кривые двоякой кривизны имеют для каждой своей точки свою плоскость кривизны, в которой находится центр кривизны этой точки на главной нормали той же точки; кривая вогнута со стороны центра кривизны и выпукла с противоположной стороны.

Если провести касательную плоскость к поверхности в какой-либо точке ее, то может оказаться одно из трех: либо окружающая точку касания часть поверхности находится по одну сторону плоскости, либо она пересекается касательною плоскостью по одной или нескольким кривым, либо она касается к касательной плоскости по одной или по нескольким кривым. Случаи первого рода представляются во всех точках шаров и эллипсоидов, и такие поверхности называются синкластическими. Случаи второго рода представляются во всех точках гиперболоидов однополых эллиптических и гиперболических; такие поверхности называются седлообразными, или антикластическими. Случаи третьего рода представляют круговые и эллиптические цилиндрические поверхности, конические поверхности, геликоид, развертываемый на плоскость, и проч. Одна и та же поверхность может быть синкластическою в одних частях и антикластическою в других: такова кольцевая поверхность с круговым сечением. Во всяком случае выпуклая сторона поверхности обращена к касательной плоскости, вогнутости же находятся с противоположной стороны.