— По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул

(где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[-1]); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции sinhypx, coshypx. Эти функции определяются при помощи уравнений

Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z.

Черт. 3.

Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора

но R = 1; CD для круга будет sin2z, a OD будет cos2z. Подобным же образом для гиперболы OD будет coshyp2z, a CD будет sinhyp2z. Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде

а уравнение гиперболы в виде

отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение

аналогичное с тригонометрическим

Черт. 4.

Кроме того, можно вводить функцию

Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами:

и