— Градусным измерением называется измерение дуги на земной поверхности, имеющее целью найти фигуру и размеры обитаемой нами планеты. Каждое градусное измерение состоит из двух существенно различных действий: из определении линейной длины какой-либо дуги на поверхности земли и вычисления угловой величины той же дуги. Линейная длина дуги определяется непосредственным измерением или помощью так наз. триангуляции, а угловая — из наблюдений широт и долгот на ее конечных точках. Чтобы облегчить определение угловой величины дуги, ее выбирают обыкновенно или по меридиану, или по параллели, почему и различают градусные измерения по меридиану и по параллелям. Предполагая землю совершенным шаром, ее радиус можно бы получить из одного градусного измерения; в предположении, что земля представляет эллипсоид вращения, необходимы два градусных измерения в местах по возможности удаленных (напр., вблизи полюса и экватора); наконец, не задаваясь вперед какою-либо определенною фигурою и считая землю некоторым неправильным телом, геоидом, фигуру земли можно определить только из обработки многочисленных Г. измерений, произведенных во многих различных местах. Соответственно этому с исторической точки зрения все Г. измерения можно разделить на три периода: до начала XVIII в., когда землю считали правильным шаром; весь XVIII в., когда ее считали эллипсоидом вращения, и XIX в., когда убедились, что фигура земли представляет, вообще говоря, неправильное тело, лишь близкое к эллипсоиду вращения, и когда особенно развились Г. измерения, производимые совместными усилиями многих ученых в различных местах земной поверхности.

Первое Г. измерение произведено в Египте александрийским математиком Эратосфеном (276-194 до Р. Х.). Он определил дугу меридиана между Александриею и Сиеною. Линейное расстояние вычислено по сведениям о времени перехода между названными городами торговых караванов и определено в 5000 стадий, а угловое — по наблюдениям высот солнца; во времена летних солнцестояний в Сиене солнце поднимается до зенита, и его отражение было видно в глубоких колодцах; в то же время в Александрии солнце не достигало до зенита на 7^о12'. Из этих данных не трудно было вывести, что одному градусу на поверхности земли соответствует 5000:7,2 стадий, а 360 градусам, или целой окружности, — 250000 стадий. Зная окружность, по правилам геометрии легко уже вычислить и радиус земли. О точности этого первого и по мысли совершенно правильного Г. измерения нельзя составить ныне определенного понятия, так как неизвестна длина египетской стадии; различные ученые определяют стадию от 158 до 185 м. Подобная же попытка повторена была вскоре Посидонием, измерившим дугу меридиана между о-вом Родосом и Александриею. Линейная длина вычислена из продолжительности плавания судов, а угловая — по высотам звезды Канопус. Это Г. измерение вследствие ошибочности судового счисления должно быть еще менее точно, чем измерение Эратосфена. Новое Г. измер. произведено только в IX в. арабскими учеными Халиб-бен-Абдул-Меликом и Али-бен-Иза по поручению калифа Альмамуна в Месопотамии; но числовые данные этого измерения, к сожалению, утрачены. В последующие за тем средние века не только не производилось других Г. измерений, но забыта была самая мысль о шарообразности земли, и следующая попытка сделана была уже в 1525 г. французским врачом Фернелем. Он измерил дугу меридиана между Парижем и Амьеном по счету оборотов колеса своего экипажа, а высоты солнца на конечных точках деревянным треугольником с диоптрами. Главные ошибки всех этих Г. измерений проистекали от неверного измерения линейной длины выбранных дуг; непосредственным измерением нельзя точно получить большое расстояние, особенно на неровной местности.

Эпоху в развитии Г. измерений составляет работа голландского математика Снеллиуса в 1616-17 гг. Он заменил непосредственное измерение длинной дуги на земной поверхности триангуляциею, состоящею в проложении ряда смежных трехугольников, в которых измеряют только все углы и длину какой-нибудь одной стороны. Такую сторону, называемую базисом, сравнительно небольшой длины, всегда можно выбрать на ровной, удобной для измерения местности. Измерение же углов — работа несравненно более простая. Зная одну сторону и все углы, не трудно по правилам тригонометрии вычислить все прочие стороны, а затем и расстояния между конечными пунктами триангуляции. Снеллиус проложил 32 треугольника между Алькмаром и Бергеном в окрестностях Лейдена и получил для длины одного градуса величину 28500 гол. рут, или 55100 тоазов, что, как впоследствии оказалось, было слишком мало. Ошибочность вывода произошла главным образом от несовершенства измерительных снарядов: длину базиса он измерил простою железною линейкою, а углы — медным квадрантом с диоптрами, позволявшими отсчитывать только минуты дуги. Однако основания нового способа были совершенно верны, и с тех пор все последующие Г. измерения состояли именно в проложении системы треугольников, в которых измерялась одна или две (для поверки) небольшие стороны. Первым подражателем Снеллиуса был французский математик и астроном Пикар. Он проложил в 1669-70 гг. триангуляцию между Амьеном и Мальвуазиною и получил для длины одного градуса меридиана величину 57060 тоазов, что весьма близко к истине. На этой триангуляции впервые применены усовершенствованные угломерные снаряды со зрительными трубами, снабженными сетками нитей в окулярах. Г. измерение Пикара в историческом отношении замечательно тем, что оно послужило Ньютону основанием в его работах, приведших к открытию законов всемирного тяготения.

Когда вопрос о фигуре и размерах земли был, наконец, решен с известною степенью точности, явились теоретические изыскания Ньютона и Гюйгенса, показывающие, что вращающаяся и некогда, вероятно, жидкая земля не может быть правильным шаром, а должна была принять фигуру эллипсоида вращения, сжатого у полюсов. Они вычислили даже величину так называемого сжатия, под которым разумеют отношение разности экваториальной и полярной полуосей к экваториальной полуоси. Для подтверждения этого теоретического вывода необходимо было произвести новые Г. измерения. Если земля есть эллипсоид вращения, то кривизна дуги каждого меридиана у полюсов должна быть меньше, чем у экватора, и потому длины дуг в один градус должны постепенно возрастать от экватора к полюсам. Чтобы решить этот вопрос по возможности в скорейшее время, французская академия решила продолжить Г. измерение Пикара на С до Дюнкирхена и на Ю до Коллиура. Работа эта, в которой приняли участие Лагир и Кассини (отец Доминик и сын Жак), была окончена в 1718 г. и привела к обратному заключению: на севере Франции средняя длина одного градуса получилась меньше, чем на юге (56960 и 57097 тоазов). Впоследствии оказалось, что заключение было ошибочно вследствие неточности наблюдений. Сжатие земли весьма незначительно, и поэтому разность в длинах дуг по одному градусу на небольшом протяжении Франции была поглощена ошибками наблюдений. Однако Кассини не хотел подрывать доверия к своим результатам и доказывал, что уменьшение длины градусов от Ю к С показывает, что земля представляет не сжатый у полюсов, а вытянутый по оси эллипсоид вращения. К его мнению присоединились некоторые другие ученые, старавшиеся даже показать теоретические основания такой фигуры. С этого времени возгорелся известный спор между французскими и английскими учеными. Первые опирались на действительные наблюдения, вторые — на непогрешимость великого Ньютона и на уменьшение силы тяжести по мере приближения к экватору, что обнаружилось отставанием часов, перевезенных из Парижа в Кайенну. Почин к окончательному решению этого спора взяла опять французская академия и в 1735 и 1736 гг. снарядила две большие экспедиции в столь отдаленные по широтам места, что разность в длинах градусов, если она существует, должна бы обнаружиться несомненно. К этому времени изобретены были новые приборы как для измерения базисов, так и для измерения углов; по своей точности они превосходили приборы, употреблявшиеся в предыдущих работах. Для сравнения линейных мер сделаны два совершенно равных тоаза, из которых тоаз, посланный в Америку, под назв. перуанского тоаза и до сих пор еще служит международною мерою длины для выражения длин дуг, измеренных на земной поверхности. Одна экспедиция в составе выдающихся ученых Бугера (Bouguer), Лякондамина, Годена и Уллоа отправилась в Перу, другая же, из молодых ученых — Мопертюи, Клеро, Лемонье, Камюза и Утие, — в Лапландию; к последней присоединился еще шведский ученый Цельсий. После возвращения этих экспедиций, претерпевших во время путешествий и работ немало лишений и опасностей, в Париж и окончания вычислений сжатие земли у полюсов обнаружилось несомненно. Длина градуса под экватором оказалась 56734, а у полярного круга 57437 тоазов. Эти результаты дают сжатие около ¹/₁₁₄ , что превосходит даже теоретический вывод Ньютона. Впоследствии обнаружилось, что в северной дуге вкрались какие-то ошибки и она в 1801-1803 гг. была переизмерена шведскими учеными; для длины градуса у полярного круга получилась величина 57196 тоазов, что все же значительно больше длины градуса под экватором; число для сжатия уменьшилось до ¹ /₃₂₃. Хотя экспедициями французской академии вопрос о сплюснутости земли у полюсов и был решен окончательно, но числовые выводы не были еще достаточно точны, и новые попытки Г. измерений продолжались. Из них в середине XVIII в. лучшими были Г. измерения Лакайля на мысе Доброй Надежды, Босковича в Италии и Мазона и Диксона в Пенсильвании. Новое обширное Г. измерение предпринято было опять французами для определения длины новопроектированной меры — метра, который по декрету 26 марта 1791 г. должен был быть равным одной десятимиллионой доле четверти парижского меридиана. При этом измерении старая дуга Кассини была совершенно переделана и продолжена на юг через Испанию до острова Форментеры. Полевые работы производились в самый разгар революции и следовавших за тем войн, так что ученым Деламбру, Мешеню, Био и Араго пришлось бороться с затруднениями, с которыми не встречались ученые прежних экспедиций. Араго, на долю которого выпало измерение углов в Испании, едва избавился от плена и даже смерти. Подробности этого Г. измерения и выводов основанных на нем величин метра и килограмма изложены в трехтомном сочинении Деламбра "Base du système métrique décimal" (П., 1806-10).

Разногласия между результатами Г. измерений XVIII века дали повод предполагать, что земля не может быть представлена правильным эллипсоидом вращения и что разные меридианы имеют различную кривизну. Эти соображения в связи с развитием триангуляций для картографических работ побуждали производить новые измерения в разных частях земной поверхности. Наиболее обширные произведены были в Индии и России. Русское Г. измерение по меридиану началось в Прибалтийском крае небольшою дугою, измеренною бывшим в то время в Дерпте профессором астрономии и геодезии В. Струве. Впоследствии, когда Струве сделан был директором основанной в 1839 г. Пулковской обсерватории, он получил возможность продолжить прибалтийское измерение на С и на Ю. Таким образом русское Г. измерение с его продолжением через Швецию и Норвегию обняло огромную дугу в 25°20' по широте и представляет непрерывную цепь из 258 треугольников. На протяжении этой триангуляции измерено 10 базисов и имеется 13 астрономических пунктов, так что это измерение само по себе представляет как бы 12 отдельных дуг. Подробности этого измерения изложены в двухтомном сочинении В. Струве "Дуга меридиана между Дунаем и Ледовитым морем" (СПб., 1861), напечатанном на русском и французском языках. На прилагаемой карте (см. карту — Г. измерения) помещены треугольники северной и южной частей этого измерения.

ГРАДУСНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ I

[Северная и южная часть русской (В. Струве) триангуляции по меридиану.]

ГРАДУСНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ II

[По 52-й параллели (часть русской дуги).]

В нижеследующей таблице перечислены главнейшие Г. измерения по меридианам с указанием: наименования дуг, главных участников, времени работ, длины дуг, конечных пунктов и их широт, а также сочинений, в которых описаны работы.

Перуанская: Бугер, Лякондамин, Годен и Уллоа (1735-1744); 3°7'3"; Тарки — 3°4'32", Котекки +0°2'31"; Bouguer, "La figure de la Terre déterminée par les observations de Bouguer et La Condamine" (П., 1749).

Шведская: Сванберг и Овербом (1801-1803); 1°37'20", Малёрн — 65°31'30", Патавара 67°8'50"; Svanberg, "Exposition des opérations faites en Laponie pour la détermination d'un arc du Méridien" (Стокг., 1805).

Ост-Индская: Ламбтон, Эверест, Уог и Уокер (1802-1874); 23°49'24"; Куданкалам — 8°12'10", Шахпур — 32°1'34"; "Account of the Operations of the Great Trigonometrical Survey of India" (Дехра-Дун, 1870-1883).

Англо-французская: Мудж, Рой, Джемс, Кларк, Деламбр, Мешен, Био и Араго (1792-1854); 22°9'44"; Форментера — 38°39'53", Саксаворф — 60°49'37"; "Account of the Observations and calculations of the Principal triangulation" (Л., 1858); "Base du système métrique décimal" (П., 1806-1810).

Русско-Скандинавская: Струве, Теннер, Зеландер и Ганстен (1816-1851); 25°20'8"; Старо-Некрасовка — 45°20'3" , Фугленес — 70°40'11", Struve, "Arc du méridien" (СПб., 1857-60).

Голштинская: Шумахер (1820-1823); 1°31'53"; Ланенбург — 53°22 '17", Лизабель — 54°54'10"; "Den Danske Gradmaaling", Andrae (Копенгаген, 1867-1884).

Ганноверская: Гаусс (1821-1824); 2°0'57"; Гётинген — 51°31'48", Альтона — 53°32'45"; Gauss, "Werke" (т. IV, Геттинген, 1863-74).

Прусская: Бессель (1831-1834); 1°30'29" Tpyнц — 54°13'11", Мемель — 55°43 '40"; Bessel und Baeyer, "Gradmessung in Ostpreussen" (Берлин, 1838).

Южноафриканская: Маклир (1842-1852); 4°36'48"; мыс Доброй Надежды — 34°21'6", Сев. кoнeц — 29°44'l8"; "Verification and extension of Lacaille's arc of the meridian of the Cape of Good Норе" (Л., 1866).

Г. измерений по параллелям производилось вообще меньше, чем по меридианам, потому что астрономическая часть работы по параллелям до последнего времени исполнялась с меньшею точностью. Вместо широт тут необходимо определять долготы; пока для определения долгот не начали пользоваться электрическими телеграфами, они получались весьма неточно. Однако существует уже несколько Г. измерений по параллелям, а в настоящее время производится новое вдоль 39-й параллели северной широты через все пространство С.-А. С. Шт. Самое обширное Г. измерение по параллели произведено на материке Европы по 52-й параллели от Хаверфордвеста в Англии до Орска на р. Урал; в это измерение вошли триангуляции Англии, Бельгии, Германии и России. На всем этом пространстве долготы определены исключительно русскими геодезистами. Вся измеренная дуга обнимает более 63½ градусов долготы, из которых на долю России приходится почти 39½ градус. На прилагаемой карте (см. карту — Г. измерения) помещена часть треугольников русской дуги.

В нижеследующей таблице перечислены главнейшие Г. измерения дуг параллелей с указанием наименования дуг, главных участников, времени работ, длины дуг, конечных пунктов и сочинений, в которых описаны работы.

Франко-итальянская: Карлини, Плана и Бруссо (1821-1823); 12°59'4"; Бордо и Падуа; "Opérations géodésiques et astronomiques pour la mesure d'un arc du parallèle" (Mилан, 1825).

Европейская по 52°: Форш и Жилинский (1827-1872); 63°31'8"; Хаверфордвест и Орск; "Записки военно-топогр. отдела главн. штаба" (т. 46 и 47, СПб., 1891, русская дуга).

Североамериканская по 42°: Комсток (1841-1882); 11°47'40"; Уилло-Спринг и Мансвилль; "Report upon the primary triangulation of the U. S. Lake Survey" (Вашингтон, 1882).

Алжирская: Перрье (1867-1879); 9°36'35"; Бон и Намур; "Mémorial du dépôt Général de la Guerre" (Пар.).

Индийская: Уокер (1872-1877); 10°28'19"; Визагапатам и Бомбей; "Account of the Operations of the Great Trigonometrical Survey of India" (Дехра-Дун).

Новороссийская по 47½: Вронченко и Васильев (1849-1856 и 1877-1890); 19°11'55"; Кишинев и Астрахань; "Записки военно-топ. отд. главн. штаба" (т. 49 и 50, СПб., 1893).

По мере накопления результатов Г. измерений они подвергались тщательной обработке, и различные ученые выводили из существующих измерений фигуру и размеры земли. Так как результаты измерений дуг в одном месте земной поверхности не совсем согласны с результатами в другом и так как разногласия превосходят пределы возможных ошибок в измерениях, то сделалось уже очевидным, что земля не может быть представлена фигурою правильного эллипсоида вращения. Поэтому из совокупности имеющегося в распоряжении материала выводят такой эллипсоид, который наиболее близко представлял бы истинную фигуру земли; уклонения же истинной фигуры от этого эллипсоида подвергаются специальным исследованиям и называются местными уклонениями отвесной линии. В нижеследующей таблице приведены результаты лучших обработок Г. измерений.

В 50-й части "Зап. военно-топ. отд. главного штаба" вычислены размеры земного эллипсоида из русских Г. измерений, при чем получены следующие результаты: Большая полуось 6377717 м. Сжатие ¹/_299,7. Некоторые ученые делали предположение — не представляется ли фигура земли трехосным эллипсоидом лучше, чем эллипсоидом вращения. Основанием к такому предположению послужили труды некоторых математиков (Якоби и др.), доказавших, что и трехосный эллипсоид удовлетворяет условиям равновесия жидкого вращающегося тела. Из таких попыток заслуживают упоминания вычисления бывшего начальника военно-топографического депо ген. Шуберта и английского геодезиста Кларка. Вот полученные ими результаты:

Положение наибольшей и наименьшей полуосей экватора, выведенное Кларком, замечательным образом согласуется с физическим строением и распределением материков и океанов на земной поверхности, так как меридиан наибольшего диаметра экватора проходит преимущественно по пространствам, занятым океанами (Атлантическим и Великим), а меридиан наименьшего диаметра экватора, наоборот, преимущественно через материки (Азии и Северной Америки). Несмотря на это совпадение, должно признать, что наука обладает еще весьма недостаточным материалом, чтобы остановиться на той или другой фигуре, наилучшим образом представляющей истинную фигуру земли. В последнее время при выводе сжатия земли принимаются в расчет также результаты измерения напряжения тяжести в разных пунктах (см. Маятник). Теоретической стороной этого вопроса занимался, между прочим, и московский профессор Ф. Слудский. Невозможность представить всю вообще землю поверхностью какого-нибудь правильного математического тела дала повод вычислять таковую только для некоторых отдельных частей, и так как на пространстве материка Европы имеется наибольшее число и наиболее точных Г. измерений, то именно для Европы прежде всего можно ожидать вывода поверхности, ближе всего представляющей все изгибы геоида. С этою целью в Западной Европе по предложению прусского геодезиста генерала Байера вызвано к жизни так называемое европейское Г. измерение, в котором принимают участие все государства Европы, за исключением Турции в Греции. Общее направление работ сосредоточено в постоянной комиссии из 9-ти выборных членов, имеющих центральное бюро в Берлине. Для обсуждения возникающих вопросов и новых работ в области геодезии каждые три года собираются конгрессы поочередно в разных городах Европы. Помимо триангуляций и астрономических определений мест в область работ европейского Г. измерения входят наблюдения напряжения силы тяжести и точные нивелировки. Печатным органом европейского Г. измерения служат "Verhandlungen der permanenten Commission der europäischen Gradmessung" и "Verhandlungen der Internationalen Erdmessung". Один из членов, проф. Берш (Boersch), издал в 1889 г. ценную библиографию, обнимающую все сочинения и журнальные статьи по геодезии под заглавием: "Geodätische Literatur auf wunsch der Permanenten Commission" (Берл., 1889). Для справок о сочинениях, относящихся к Г. измерениям, может служить также "А Bibliography of Geodesy" профессора Гора, составляющая 16-е приложение к отчету береговой и геодезической съемки С.-А. С. Шт. за 1887 год.