(мат.) — В добавление сказанного в ст. Бином (см.) заметим по поводу бинома Ньютона. Уже Вьетту было известно, что от возвышения Д. а + b в какую угодно целую положительную степень n получается формула вида

(1) (а +b) ⁿ = а ⁿ + P₁a^n—1b¹ + P₂a^n-2b² +... + Р _n—1аb ^n—1 + bⁿ,

где в правой части многочлен, состоящий из n+1 членов. В каждом из них сумма показателей над а и над b равна n. Кэффициенты же Р ₁, Р ₂,... Р _n — суть некоторые целые числа. Ньютон первый показал закон составления этих коэффициентов. Коэфф. Р _k оказывается равным числу сочетаний из n предметов по k (см. Сочетания), или, выражая это формулой

(2) P_k = [n(n—1)...(n-k + 1)]/1.2.3...k

Уже Ньютон, а за ним и все остальные математики, между прочим Эйлер, рассматривали формулу, приведенную выше, также и для n дробных и отрицательных. В этих случаях (а + b)ⁿ представляется уже не в виде многочлена с n+1 членами, а в виде бесконечного ряда, начинающегося с членов

а ⁿ + Р ₁a^n—1b + Р ₂а ^n-2b² +...,

причем Р _k вычисляется по формуле (2) и может не быть целым числом. Бесконечные ряды употребляются лишь в том случае, когда эти ряды суть так назыв. сходящиеся (см. Ряд). Полагая b/a = х, мы приходим к рассмотрению выражения (1+x) ^m или, другими словами, к нахождению суммы ряда

1 + (n/1)x + {[n(n—1)]/1·2}x² + {[n(n—1)(n-2)]/1·2·3}x³ +...

для всех значений х и n действительных или мнимых, для которых ряд сходящийся. Полное решение послднего вопроса представляет знаменитая работа норвежского математика Абеля: "Recherches sur la série 1 + (m/1)х +... (см. журнал Crell'я, т. I, 1826). Ограничиваясь вещественными значениями х и m, замечаем, что формула

(1+x)ⁿ = 1 + nx + {[n(n—1)]/1·2}x² +...

1) при n целом и положительном справедлива, каково бы ни было значение х;

2) при n не равном целому и положительному числу имеет место при —1 < х < +1;

3) при х = +1 имеет место, когда m > —1;

4) при х = — 1 имеет место, когда m > 0.

Бином Ньютона дает возможность вычислять корни по приближению. Например:

Вычисляя только написанные четыре члена, мы получим для число 1,70997858, в котором верны пять знаков после запятой.