Действие, в механике

(Action, the action) — термин теоретической механики. Действием движущейся материальной системы в течение промежутка времени от начальной эпохи (t = 0) до какого-либо момента t называется величина интеграла

где Т означает живую силу системы, т. е.

T = 1/2 Σ mv²

причем m суть массы, a v — скорости материальных точек системы. Так как скорость каждой точки есть отношение элемента пути, пройденного точкою, к элементу времени, то Д. можно представить еще так:

где ds есть элемент пути, суммирование распространено на все точки системы, а интегралы взяты по длинам путей, пройденных точками, от момента t = 0 до момента t. Так как mv есть количество движения материальной точки и так как ему приписывается направление скорости, то можно сказать, что Д. А есть сумма работ количеств движения точек системы на протяжении путей, пройденных ими в течение рассматриваемого промежутка времени. Значение этой величины в механике выяснено Эйлером и Лагранжем при следующих обстоятельствах. В первой половине XVIII ст. член французской акд. Пьерр-Луи Моро де Мопертюи высказал принцип, по которому все силы природы производят свои Д. без потерь. Этот так названный им Principe de la moindre action не только не был им доказан, но даже не было установлено, что именно следует понимать под именем Д. силы; несмотря на это, Мопертюи горячо зашищал свой принцип и даже, будучи впоследствии президентом берлинской акд., преследовал тех своих сочленов, которые не соглашались с его взглядами. Преследуемые нашли защитника в лице Вольтера, осмеявшего идеи Мопертюи в одном из своих произведений, что послужило причиною падения Мопертюи и его воззрений. Знаменитый Эйлер, бывший искренним другом Мопертюи и разделявший взгляд его, по которому все явления природы происходят таким образом, что при этом нечто имеет наименьшую величину, показал, что дифференциальные уравнения движения материальной точки под влиянием сил притяжения к неподвижным центрам, зависящих от величин расстояний до этих центров, делают наименьшею или наибольшею величину действия А. В 1760 г. Лагранж показал, что то же самое имеет место во всех вопросах динамики материальных систем, удовлетворяющих закону сохранения энергии. В первом издании своей "Mécanique Analytique" он рассматривает это свойство величины Д. А (быть наименьшим или наибольшим для систем, удовлетворяющих закону сохранения энергии) как общий закон движения: Principe de la moindre action, являющийся необходимым следствием дифференциальных уравнений движения, составленных в силу основных начал механики. Обратно, на основании принципа наименьшего Д., выразив по правилам вариационного исчисления, что Д. А имеет наибольшую или наименьшую величину, получим дифференциальные уравнения движения системы; таким образом получается новый метод для составления этих дифференциальных уравнений.

В 1838 г. Якоби показал, что Д. А, хотя и не может быть наибольшим, но не всегда бывает наименьшим, а именно оно будет наименьшее тогда, когда крайние положения, между которыми берется интеграл, достаточно близки между собою. Так, возьмем случаи движения тяжелой материальной точки, бросаемой из начала координат О с начальною скоростью V; как известно, траектория точки будет парабола, и все траектории, соответствующие одной и той же начальной скорости V по различным углам наклонения этой скорости к горизонту, будут иметь сгибающею поверхностью параболоид вращения с вертикальною осью симметрии, проходящею через О, фокус которого находится в этой точке, а вершина — над нею в расстоянии (V²: 2g). Во всякую точку, находящуюся внутри параболоида, можно попасть по двум траекториям, соответствующим двум различным углам наклонения скорости V к горизонту; та из них, которая получается при большем угле, сначала касается к огибающему параболоиду и потом уже проходит через намеченную точку, другая же траектория касается к параболоиду после прохождения через намеченную точку. Оказывается, что Д. по последней траектории есть действительно наименьшее, чем по всякому другому пути, по которому можно заставить тяжелую точку двигаться от начала координат до намеченной точки; Д. же по первой траектории более чем по второй. По всем траекториям Д. имеет наименьшую величину до тех пор, пока траектория не коснется сгибающего параболоида.

Подробное рассмотрение обстоятельств, при которых Д. перестает быть наименьшим, можно найти частью в "Vorlesungen über Dynamik" von Jacobi, еще более в "Natural philosophy" Томсона и Тета, а также в книге Watson и Burbury, озаглавленной "A treatise on the application of generalised coordinates to the Kinetics of a material system" (1879, "Clarendon Press"). На русском языке есть немало статей по этому предмету, написанных русскими учеными и помещенных в "Математ. Сборнике", "Записках акд. наук", а также в Известиях различных университетов. Авторы вышеназванной "Natural Philosophy" высказывают убеждение, что началу наименьшего Д. придется играть важную роль во многих отраслях физико-математических наук.