— Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:

A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i²= -1, j²= -1, k²= -1.

B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:

ij = k, ji = -k

jk = i, kj = -i

ki = j, ik = -j.

Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α ₁ = х ₁i + y₁j + z₁k получается на основании свойств А и B следующее выражение:

s + fi + gj + hk..... (С)

в котором:

s = - (хх ₁ + yy₁ + zz₁)

f = уz ₁ — zу ₁

g = zx₁ — xz₁

h = xy₁ - yx₁

Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r₁ казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.

Известно, что хх ₁ + yy₁ + zz₁ = rr₁cos Θ и что

f = -lrr₁sin Θ

g = - тrr ₁sin Θ

h = -nrr₁sin Θ

поэтому

αα ₁ = -rr₁cos Θ — λ rr₁sin Θ, где

λ = li+ mj + nk.

Следовательно, произведение αα ₁ есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr₁cos Θ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r₁, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. излож. Paul Glаn, Лпц., 1882); Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions"; P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".