— Слово "математика" происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, от глагола μανθάνω, первоначальное значение которого, "учусь через размышление", устанавливало строгое разграничение между выражаемым им понятием и понятием учения путем опыта. М., по обычным, установившимся с давнего времени, взглядам, есть наука о величинах, предмет которой состоит в измерении величин, или, согласно с поправкой, внесенной Огюстом Контом, в непрямом измерении величин. Такое определение если и может считаться удовлетворительным, то только для отдаленного прошлого, когда задачи М. не шли далее практических искусств счета и измерения протяжений. Но уже с IV в. до Р. Х. практическая арифметика, под именем "логистики", и практическая геометрия, в форме землемерия, потеряли почти всякий интерес в глазах математиков древней Греции, и на первый план выдвинулись для них изучение свойств протяжений, или теоретическая геометрия, и в меньшей степени изучение свойств чисел, или, по терминологии нашего времени, теория чисел. По определению Вильгельма Вундта, вполне выражающему современное состояние М., ее предмет состоит в задаче "подвергнуть исчерпывающему свой предмет исследованию мыслимые формы чистого усматривания, так же как и выполнимые, на основании чистого усматривания, формальные построения понятий, в отношении всех их свойств и взаимных отношений". Это определение отвлечено автором от содержания создавшегося в последнее время, под именем учения о многообразиях, или учения о формах (Mannigfaltigkeitslehre Римана, или Formenlehre Германа Грассмана), самого общего математического учения, в отношении которого все отдельные математические науки являются не более как его специальными ветвями. Содержание названного сейчас общего математического учения с полною ясностью раскрывает также и связь, существующую между М. и другими науками. Выражения "многообразие" и "форма" характеризуют это содержание с двух разных сторон, так как указывают на два необходимых условия, которые должны быть выполнены при всяком математическом исследовании, какой бы предмет оно не имело. Первое из этих условий состоит в наличности многообразия объектов мышления, составляющих известную совокупность; второе — в чисто формальном способе обработки, т. е. в таком, который привлекает к рассмотрению не собственные конкретные свойства объектов мышления, а только одни взаимные отношения последних. Область математического исследования становится таким образом чрезвычайно обширной, способной к распространению даже на формальную часть логики, как на удовлетворяющую указанным условиям и потому вполне готовую к принятию форм математического алгоритма. В настоящее время это принятие есть уже совершившийся факт, представляемый недавно созданными трудами Буля, Роберта Грассмана, Шредера и др. логическим исчислением, или алгеброй логики. Если затем принять во внимание, что все доставляемое опытом может быть сведено на отношения многообразных объектов мышления, то становится необходимым заключить, что всякая опытная наука, по самой своей природе, должна быть доступна формальному, или математическому, способу обработки. Степень же приложимости математической обработки предмета зависит исключительно от чисто внешних условий исследования. "Рациональная, или теоретическая, механика", "небесная механика", "математическая физика", попытки создания "математической химии", "теория вероятностей" и "математическая статистика" дают изложенным сейчас абстрактным заключениям фактическое реальное подтверждение. Развитие математики началось с создания практических искусств счета и измерения линий, поверхностей и объемов. Началом этого развития можно считать появление у первобытного человека определенного представления единицы и неопределенного представления множества. Затем все последующее развитие первобытного счисления состояло в последовательном выделении из неопределенного представления множества определенных представлений два, три, четыре и т. д. до пределов, которые определялись у различных народов самыми разнообразными обстоятельствами. Обстоятельством, определившим форму и ход первоначального развития счисления, была коренящаяся в условиях и законах первоначального развития представлений невозможность для первобытного человека в течение значительных промежутков времени отделять числовое представление от конкретного представления содержащей его группы предметов. Счет вначале, вследствие этого обстоятельства, мог быть и был только вещественным. Промежутки времени, необходимые для выделения последовательных числовых представлений, были вообще очень большими, но особенно значительную продолжительность имели они в эпоху развития представлений чисел два, три и четыре. На исключительно большую величину промежутка времени, в продолжение которого выделялось представление числа три, и поэтому вся доступная человечеству область счисления ограничивалась определенными представлениями единицы и два, и неопределенным — множества, указывает факт существования во многих языках двойственного числа. К этому же громадному промежутку времени восходят начало развития счисления дробей и связанное с ним первое образование системы счисления. Первой дробью, с которой познакомилось человечество, была половина. Вслед за ней постепенно выходили на свет сознания и ближайшие к ней другие дроби двоичной системы. Половина какого-нибудь предмета могла быть, в свою очередь, разделена на две полполовины; полполовина — на две полполполовины и т. д. до предела, до которого могли доходить требования практической жизни. Вполне характеристичный пример этого образования дробей двоичной системы представляет древнерусская система земельных мер. Землемерные рукописи и официальные акты по землемерию допетровской эпохи доходили в образовании этих дробей до 8, 9 и даже 10 повторений приставки пол- к слову половина (о дальнейшем развитии счисления дробей см. в статье Дроби). Первоначальное разнообразие групп предметов, заимствуемых человеком из окружающей природы для употребления в качестве орудий и средств счета, сменилось, после выделения представления числа четыре, почти исключительным употреблением группы, представляемой пальцами руки, как ближайшей к человеку и постоянно находящейся в его распоряжении. С этого времени дальнейшее развитие счисления так тесно связалось с развитием уменья пользоваться при счете пальцами, что для словесного выражения вновь выделяемых числовых представлений стали в чрезвычайно широких размерах употребляться названия предметов и действий пальцевого счета. После выделения представления числа 5 дальнейшее развитие счисления встретило важное затруднение, состоявшее в невозможности, при выделении следующего числового представления шесть, пользоваться пальцами одной руки, как уже занятыми выражением числа 5. Наблюдения над пальцевым счетом современных дикарей обнаруживают существование и размеры рассматриваемого затруднения в этом и аналогичных других случаях с полною ясностью. После значительного промежутка времени некоторые племена пришли к мысли освобождать занятые выражением числа 5 пальцы одной руки с помощью употребления особого знака, напоминающего человеку, что число 5 уже получено один раз. Этим знаком бывали: черта, проведенная на песке или красящим веществом на какой-нибудь поверхности, камень, и т. д. Этим приемом была создана пятеричная система счисления в ее примитивном виде счета по пяткам и положено начало развитию письменного счисления. Действительно, употребление для условного обозначения предмета других знаков, чем жесты и звуки, и есть уже письмо в самом обширном значении этого слова (см. Письменное счисление). Последовавшее за введением указанного приема развитие счисления состояло в том, что при выделении, с помощью пальцев одной руки, всех следующих числовых представлений до известного предела, попутно выделялись сперва простые кратные пяти, как основного числа пятеричной системы, а затем и единицы следующих разрядов той же системы вместе с кратными им. Другим средством устранения представившегося затруднения, найденным другими племенами, было употребление при выделении следующих за 5-ю числовых представлений пальцев другой руки. Но когда эти племена, достигнув числа 10, должны были перейти к 11, тогда они опять встретились с затруднением, подобным прежнему и состоявшем в невозможности пользоваться пальцами обеих рук, как уже занятыми выражением числа 10. Те же два средства, как и прежде, послужили и для устранения нового затруднения. Одни из племен, придя к мысли обозначать десяток особым знаком, создали получившую позднее всеобщее распространение десятичную систему счисления; другие, напротив, остановившись на мысли воспользоваться пальцами ног, продолжали развивать счисление в прежнем направлении, пока наконец, достигнув числа 20, не пришли в дальнейшем развитии счисления к созданию двадцатеричной системы, закончившему собой цикл образования пальцевых, или натуральных, систем счисления. Средства, при помощи которых происходило дальнейшее развитие счета, оставались все последующее время в сущности теми же, какими были вначале, изменяясь только более или менее резким образом в своих внешних формах, в зависимости от достигаемых человечеством ступеней развития. Согласно двум главным родам употребляемых средств, счет бывает или вещественным, или мысленным. Первый пользуется или предметами, принадлежащими человеческому телу, главным образом пальцами, или же предметами, посторонними человеку. И в том, и в другом случае счет пользуется употребляемыми им предметами или в их непосредственном виде, или в форме изображений, с течением времени все более и более удаляющихся от оригиналов и кончающих переходом в системы условных знаков, или образованием письменного счета в тесном смысле. Несмотря на свою распространенность в позднейшее время, письменный счет не является единственной формой вещественного счета в его позднейшем состоянии. Другой формой, и притом стоящей гораздо ближе к своему древнему прототипу, является инструментальный счет, пользующийся для своих целей различными более или менее сложными искусственными инструментами или орудиями, начиная с первобытного шнурка с узлами и кончая усовершенствованной счетной машиной последней конструкции. Другой главный вид счета — мысленный — в своей чистой первоначальной форме слагается из операций, совершаемых вне сознания и выводимых перед ним с значительным трудом и в более или менее смутных образах только в позднейшее время, по достижении владеющими им лицами значительно высших ступеней развития. При таких свойствах этого счета об употреблении его в древности мы можем судить только по перешедшим в памятники древней математической литературы результатам его приложения к решению различных задач и вопросов. Недостаток данных истории М. может быть пополнен наблюдениями над феноменальными счетчиками нашего времени. Этим именем обозначаются прежде всего лица, которые, без всякой предварительной подготовки, оказываются в состоянии в поразительно короткие промежутки времени производить очень большие вычисления и решать задачи, которые должны быть признаны совершенно выходящими из круга ведения не только неграмотного человека, но даже и лиц, получивших элементарное школьное образование. Можно указать на обратившего на себя недавно внимание всего образованного мира Жака Иноди и на изученных более или менее обстоятельно Анри Монде во Франции, и Ивана Петрова в России. Наблюдения над этими феноменальными счетчиками дают нам основание думать, что начало употребления мысленного счета восходит к очень отдаленным временам развития счисления. Данных для изучения первоначального развития геометрии наука в настоящее время почти совсем не имеет. Первое ознакомление с основными геометрическими понятиями доставляло человечеству созерцание предметов окружающей природы. Но это ознакомление было бы очень поверхностным, если бы к нему не присоединялось с раннего времени воспроизведение образов, представляющихся человеку в окружающем его мире, вызываемое или стремлением к подражанию, или практическими нуждами. Воспроизведение, явившееся результатом первой из этих двух причин, выразилось в первобытных формах живописи и ваяния, и второй — в различных ремеслах и в первобытной форме архитектуры. Но большая часть доставляемых этими средствами геометрических сведений оставалась вне сознания. Прогрессировать в ясности и определенности эти представления едва ли могли ранее эпохи, когда явилась надобность в измерении расстояний, в определении величины земельных участков, в вычислении содержания жидкостей, зерен, плодов и проч. в сосудах и различных помещениях. Употребляемые вначале приемы этих измерений и определений были исключительно эмпирического и индуктивного происхождения. Умозрение стало приводить к сколько-нибудь заметным результатам только значительно позже, и притом первые результаты умозрения в области геометрии могли быть в большинстве случаев только ошибочными. Вполне характерным примером их является имевшее в свое время всеобщее распространение ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Учение это получило очень обширное и притом вполне умозрительное развитие. Площадь какого-нибудь данного четырехугольника вычислялась, напр., как площадь прямоугольника, имеющего одинаковый с ним периметр, именно такого, неравные стороны которого равнялись полусуммам противоположных сторон рассматриваемого четырехугольника (египетские землемерные надписи храма в Эдфу). Площади многоугольника, круга, всякой криволинейной фигуры вычислялись как площади квадратов, имеющих сторонами ¹/₄ периметра рассматриваемой фигуры. Вычитание площадей фигур заменялось вычитанием их периметров и следующим затем определением площади квадрата, периметр которого равнялся полученной разности (русские землемерные рукописи XVII столетия).

Древнейшим из известных современной науке памятников древней математической литературы является составленный за 1700 лет до Р. Х., по источникам еще более древним, восходящим именно к промежутку 2221-2179 гг. до Р. Х., египетский папирус Ринда (см. Папирусы математические). В таблицах, составляющих его арифметическую часть, исследователь, кроме действий над целыми и дробными числами, встречает еще случаи возвышения в степени, пропорциональное деление, учение о геометрических отношениях и пропорциях в примитивном виде, определение среднего арифметического, задачи, занимающиеся арифметическими прогрессиями, решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Изложение решений вопросов и задач в папирусе Ринда лишено даже намека на что-нибудь подобное объяснению или доказательству. Искомый результат или дается прямо, или вычисляется, как бы по рецепту, в обоих случаях он поверяется, так как уверенность в правильности предписанного решения только при посредстве поверки и может быть достигнута. Такой способ изложения, как свидетельствующий, по меньшей мере, о неясности для сознания найденного решения вопроса, показывает, что вначале исключительно, а позднее во всех более трудных случаях решение задач и вопросов доставлялось феноменальными счетчиками и затем, как умственное наследие, передавалось из поколения в поколение. Методов, которыми бессознательно пользовались феноменальные счетчики при своих решениях вопросов и задач, как показывают наблюдения над людьми этого типа в новейшее время, было два; из них один может быть назван методом попыток. Сущность метода состоит в совершении ряда попыток, имеющих целью достигнуть вполне точного решения вопроса или возможно более к нему приблизиться. Так как для успеха дела число таких попыток должно быть возможно более ограниченным, то прежде чем приступить к ним необходимо определить на основании условий вопроса их низший или высший предел или оба вместе. Затем для первой из попыток, следовательно, в качестве числа, представляющего для всего их ряда точку исхода, или, короче, в качестве исходного числа, берется или один из этих пределов, или число, близкое к нему. Выбор для дальнейших попыток, в случае неудачи первой, чисел в ряду следующих за исходным числом всегда следует принципу удобнейших (главным образом для вычисления) чисел. Оценка делаемых попыток в их отношениях к своей главной цели, т. е. по вопросам о том, доставляется ли ими искомое решение вопроса или, в противном случае, насколько они приближают к этому решению, производится с помощью их поверки условиями задачи; без поверки употребление метода делается совершенно немыслимым. Существенной характеристической чертой метода попыток является его применимость к решению самых разнообразных задач и вопросов как теоретического, так и практического характера. Метод попыток может быть прямым, когда попытки занимаются непосредственным определением искомого числа, и непрямым, когда ими определяется число, находящееся в установленной условиями задачи связи с искомым. Частным случаем метода попыток является метод постепенного образования, или составления искомого числа на основании условий вопроса. В этом методе или все попытки, кроме первой, или некоторая часть их, заменяются рядом изменений, совершаемых или в исходном числе, или в числе, доставленном какой-нибудь из последующих попыток. Изменения эти производятся таким образом, чтобы составляющее их объект число постепенно приближалось к искомому. Приложение этого метода допускается, впрочем, далеко не всеми вопросами, решаемыми методом попыток, а потому он и является не более, как только частным его случаем. Другим, находящимся в распоряжении феноменальных счетчиков, методом был обычно употребляемый в современной науке метод выражения искомого неизвестного в данных задачи. Феноменальные счетчики, а затем обыкновенные, пользовались им для решения вопросов с немногими и простыми условиями, указывающими с полной очевидностью ряд действий, исполнение которых над данными числами приводит к искомому неизвестному. В папирусе Ринда встречается только одно правило, имеющее для области обнимаемых им случаев, хотя и крайне тесной, общее значение. Результат умножения каждой дроби с единицей в числителе на дробь ²/₃, говорит это правило, всегда состоит из ¹/₂ умножаемой дроби и из ее ¹/₆. Так как изложение этого правила следует непосредственно за рядом примеров, его подтверждающих, то исследователь получает право заключить, что оно было найдено помощью индукции через простое перечисление. По всей вероятности, и все другие правила общего характера в рассматриваемую отдаленную эпоху выводились таким же образом. Представляемые папирусом Ринда геометрические сведения древних египтян стоят на гораздо более низкой степени развития, чем их арифметические знания. Для суждения о качественной стороне дела достаточно заметить, что все употребляемые в нем приемы измерения, как величины земельных участков, так и вместимости житниц, неточны. Притом в первом случае они хотя и имеют умозрительный характер, но на степени развития, не стоящей выше учения о равенстве площадей при равенстве периметров; во втором же случае они являются прямо и грубо эмпирическими. Гораздо более высокое положение, приближающееся до некоторой степени к философскому и научному уровню арифметических знаний, занимает в геометрическом отделе папируса Ринда, по точности результатов и по философскому и научному значению основных идей, статья о вычислении пирамид, как заключающая в себе в примитивном виде учение о подобии треугольников и пользующаяся для определения равенства углов в прямоугольных треугольниках приемами, состоящими в смысле науки нашего времени в определении синусов и тангенсов. Высокой для своего времени степенью точности обладает в папирусе Ринда также и прием вычисления площади круга, состоящий в возвышении в квадрат ⁸/₉ его диаметра (см. Квадратура круга). Определенное по этому приему отношение окружности к диаметру равно 3,16. В то же время как и в Египте, или немного позже, математические знания достигли довольно высокой степени развития у жителей Вавилона и Ассирии, у халдеев. Главным источником сведений о том являются таблицы из Сенкере, занимающиеся возвышением последовательных натуральных чисел от 1 до 60 в квадрат и куб и пользующиеся для изображения чисел 60-ричной системой счисления. Кроме того, из сочинений греческих писателей мы узнаем, что учение о пропорциях было принесено Пифагором в Грецию из Вавилона. Не имея таким образом оснований для суждения об объеме и свойствах математических знаний халдеев, мы можем указать, как на единственную известную нам черту различия между ними и знаниями египтян — на характер приложений тех и других. Египетские математические знания прилагались к решению вопросов, имеющих практическое утилитарное значение, напротив, халдейские — главным образом преследовали мистические цели и служили для предсказаний будущего. Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всем человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретенных человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретенных человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершенного цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках. Усвоение приобретенных человечеством знаний греками, как нацией, далеко отставшей от передовых народов, началось с особенно усилившегося, после изгнания гиксов из Египта, перехода егип. знаний к народам Малой Азии и в самую Грецию. В течение очень большого промежутка времени, от 1700 г. и ранее и до 600 г. до Р. Х., эти знания были исключительно практического характера, относящиеся к потребностям обыденной жизни и к необходимейшим промыслам, ремеслам и искусствам. В области М. переход научных знаний из Египта в Грецию начался с возвращения, около 590 г. до Р. Х., Фалеса Милетского на родину, в Милет, после долговременного пребывания в Египте. Принесенные им оттуда геометрические и астрономически сведения составляли первое время почти исключительное достояние основанной им ионийской школы. Но это время было очень непродолжительно, так как труд перенесения египетских, а затем и халдейских математических знаний скоро взяли на себя и другие лица: Пифагор, Ойнопид Хиосский и Демокрит из Абдеры. Особенно много сделал в этом направлении Пифагор, что и было главной причиной широкого развития занятий М. в основанной им пифагорейской школе. Так как последовательные стадии развития человечества никогда не сменяют друг друга резко, то в этой школе еще до окончания периода усвоения исследователь встречается уже с проявлениями самостоятельной деятельности греков в области М. Различить однако же в том, что нам известно о математических знаниях пифагорейцев, принадлежащее им самим от заимствованного у египтян и халдеев, в настоящее время нет пока никакой возможности. После разрушения, около 450 г. до Р. Х., представляемого этою школой религиозного братства, ее математические знания, строго оберегаемые наравне со всеми другими знаниями от распространения между лицами, не принадлежащими к союзу, сделались общим достоянием греческой нации. Особенно широкое распространение получили они на родине пифагорейского союза, в греческих колониях Южной Италии, или в так называемой Великой Греции, и в Афинах. В Италии это распространение создало италийскую математическую школу, крупнейшими представителями которой в последующее время были Архитас Тарентский, Эвдокс Книдский и Архимед. В Афинах распространение пифагорейских математических знаний выразилось в деятельности математиков V стол., крупнейшим представителем которых был пифагореец Гиппократ Xиoсский. Деятельность эта была посвящена главным образом попыткам решения трех знаменитых задач: трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба. Этому же столетию принадлежит и первая попытка составления свода геометрических знаний в научной обработке, сделанная Гиппократом Хиосским. С деятельностью математиков V ст., кроме значительного усиления самостоятельности математических работ греческих ученых, связываются в истории М. два важных момента: начало дедуктивного периода развития М., которое в действительности, может быть, относится к еще более раннему времени, напр. к пифагорейской школе или даже к самому Египту, и полное выяснение направления и характера математического гения греческой нации, который с этого времени начал проявлять такую исключительную склонность к геометрическим исследованиям, что на них, можно сказать, сосредоточилась вся деятельность греческой нации в области математики до самого наступления периода упадка. С началом дедуктивного периода закончился в истории развития математики во всем человечестве первоначальный, донаучный период.

Период усвоения греками математических знаний, приобретенных человечеством, можно считать закончившимся ко времени деятельности Платона, который хотя и ездил в Египет с целью непосредственного ознакомления с египетскими науками, но, по высокому сравнительно состоянию математических знаний в пифагорейской школе и у математиков V ст., он едва ли мог найти в египетской М. что-нибудь, оставшееся для греков неизвестным. Итак, период вполне самостоятельной деятельности греков в области М. начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии, или даже еще ранее, с работ математиков V ст. С этого времени последующее развитие, если не всей М. вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведет его, пока находит в своем распоряжении необходимые средства. Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии М. и в частности ее методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены главным образом на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места ее основным положениям, на приведение приобретенных ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но еще не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались, по-видимому, результаты произведенного им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остается ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его дает. Таким писателем является Эвклид, по определению которого "анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным". Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определенным образом, эти определения представляются в следующем виде. Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним — предложение уже доказанное. Схема метода такова: требуется доказать существование D. Доказательство: D существует, если С существует; С существует, если В существует; В существует, если А существует, но существование А есть уже доказанная истина, следовательно, и существование D доказано, так как правильно выведенное следствие предложения, представляющего истину, всегда есть истина. Если между двумя следующими одно за другим предложениями цепи существует обратимость, т. е. если при следовании справедливости первого предложения из справедливости второго, также следует обратно и справедливость второго из справедливости первого, то отыскивание этого второго предложения при составлении цепи, как предложения, из которого первое вытекает как следствие, может быть заменено более легким действием вывода второго предложения, как следствия первого. Если обратимость предложений распространяется на всю цепь, то аналитический метод принимает более легкую частную форму, состоящую в образовании цепи предложений, из которых каждое есть непосредственное следствие предыдущего. Эту частную форму обыкновенно и принимают за выраженную определением Эвклида, хотя неопределенность его выражения и не дает для этого достаточного основания. Если же принять во внимание, что, при непонимании значения обратимости предложений, греческие геометры, употребляя эту форму, должны были беспрестанно приходить к ложным выводам, то придется заключить, что путем горького опыта они должны были придти к употреблению общей формы анализа, как никогда не обманывающей возлагаемых на нее надежд. Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего. Об апагогическом методе. или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Эвклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза дает Прокл, при своем приписывании их Платону; "Третий (апагогический) метод, — говорит он, — есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину". В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого. Аналогический метод есть собственно видоизменение аналитического, в котором первым звеном цепи предложений вместо доказываемого предложения является его отрицание, а последним какое-нибудь заведомо ложное или нелепое предложение. Ученые математики, принадлежавшие к Академии во все время ее существования, распадались на две группы: на ученых, получивших свое математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Леодамас Тазосский, Архитас Тарентский и позднее Эвдокс Книдский; к числу вторых — Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат, и во время старости Платона Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский, Филипп из Менде и Филипп из Опуса. В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперед мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал свое развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: Леоном, в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона. "Элементы" Леона замечательны по введению в них впервые так назыв. диоризма, то есть исследования задачи, состоящего в рассмотрении условий возможности или невозможности ее решения, а также в первом случае и в определении числа ее различных решений. Из математиков, современных Академии, но не принадлежавших к ней, более известны нам по своей деятельности Автолик из Питаны и Аристей Старший. Создание в школе Платона философии М. должно было повести необходимым образом к разработке существенно необходимой для нее истории М. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, Аристотелем, школа перипатетиков в лице двух своих представителей, Эвдема Родосского и Теофраста Лесбосского. Нельзя не заметить, что в трудах по истории М. этих ученых заключается все крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство науке, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до Р. Х., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира. Щедрые денежные пожертвования на дело науки и просвещения со стороны династии Птолемеев, и особенно трех первых из них: Птолемея Сотера, Птолемея Филадельфа и Птолемея Эвергета, привлекли в Александрию выдающихся представителей науки древней Греции и собрали в Александрийской библиотеке все сокровища греческой ученой и изящной литературы. Самыми крупными из представителей М. в Александрии были Эвклид, Эратосфен и Аполлоний Пергейский. Написанные Эвклидом "Элементы" геометрии закончили собой ряд попыток составления сочинений того же рода. До нынешнего времени остаются они произведением, не имеющим в своей области себе равного. Также классическим, хотя и далеко не в такой степени, является завершившее собой развитие учения о конических сечениях в древней Греции сочинение Аполлония Пергейского: "Восемь книг о конических сечениях", заключающее в себе все сделанное в этой области самим автором, его предшественниками и современниками. Старшим современником Эратосфена и Аполлония Пергейского был самый крупный математик своей эпохи, представитель италийской школы, Архимед. Из его работ особенно важное значение должно быть признано за исследованиями, относящимися к коническим сечениям, к происходящим от них телам вращения и к спиралям. Во всех этих исследованиях, так же как и при решении некоторых вопросов планиметрии и стереометрии, он широко пользовался методом исчерпывания, который в его руках достиг наибольшей доступной ему высоты развития. Началом развития метода являются первые попытки раскрытия отношений, существующих между простейшей криволинейной фигурой, кругом, и фигурами прямолинейными. После того как было найдено, что площади правильных одноименных многоугольников относятся как квадраты диаметров описанных округов, сама собой должна была явиться мысль о возможности перехода от этих многоугольников к кругам через посредство удваивания числа сторон многоугольников, делающего периметры последних все более и более близкими к окружностям кругов. Но так как уходящее в бесконечность удваивание числа сторон многоугольника, а вместе с ним и беспредельные приближение периметра того же многоугольника к окружности, не дают места непосредственному усмотрению, то явилась необходимость для удержания за очевидностью ее прав в принятии основанием всех исследований рассматриваемого рода такого вспомогательного предложения, с помощью которого требования очевидности были бы удовлетворены. Таким предложением в "Элементах" Эвклида является следующее: "Если даны две неравные величины и от большей отнимается более половины, от оставшегося также более половины, и так далее, то останется величина, которая будет меньше всякой данной малой величины" (книга X, предл. I). Так как в устанавливаемом этой теоремой процессе всякий остаток сравним со следующим за ним, то строгие требования греческой геометрии являются удовлетворенными. С помощью этой теоремы Эвклид доказывает, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющего одинаковые с ним основание и высоту; из тех же оснований он выводит, что круги относятся как квадраты их диаметров, что треугольные пирамиды, конусы, цилиндры при одной и той же высоте относятся соответственно, как площади их оснований; что отношение шаров равно отношению кубов их диаметров. С гораздо большей строгостью относился к методу исчерпывания Архимед, положивший в его основание теорему: "Если две линии, две поверхности или два объема неравны, то всегда возможно величину, на которую большее превосходит меньшее, прилагать к самой себе столько раз, что получится результат, превосходящий всякую данную конечную величину одного с ним рода". Пользуясь этой теоремой, Архимед дает, например, два способа решения вопроса о квадратуре параболы. Общий прием, заключающийся как в этих двух, по-видимому, очень различных способах, так и в подобных им, относящихся к другим родам протяжений, состоит в том, что определяемая величина рассматривается как предел ряда каких-нибудь величин, находящихся к ней в известном отношении. Но так как для практических приложений этого приема не было выработано никаких общих правил, как относительно закона составления требуемых им рядов и формы их членов, так даже и относительно самого выбора ряда, который бы мог привести к цели, то исследователь получал в этом приеме только одни неопределенные общие указания на находящийся в его распоряжении путь исследования; во всем же остальном он был предоставлен собственной эрудиции и собственному остроумию. Это и было причиной, что только в руках такого гениального геометра, как Архимед, метод исчерпывания мог получить сколько-нибудь значительные приложения. В деятельности Эвклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области М. достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идет уже не о создании новых отраслей науки и решении ее труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, все еще остается верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным. Материалы для этой деятельности черпались действительно из отраслей М., продолжение разработки которых было завещано предыдущей эпохой. Этими отраслями были: во-первых, элементарная геометрия и в ней главным образом стереометрия, где и после работ Эвклида и Архимеда все еще оставались некоторые пробелы; во-вторых, кривые высших порядков, толчок к изучению которых был дан Архимедом через посредство его исследования спиральных линий, и в-третьих, числовая геометрия, также указанная последующим математикам Архимедом в относящейся к ней его работе по предмету вычисления круга. К первой отрасли относились работы Зенодора (изопериметрические фигуры) и Гипсикла Александрийского (правильные многогранники), ко второй — работы Никомеда (конхоида), Диоклеса (циссоида) и Персея (спиры и спирические кривые), и к третьей — работы Гиппарха (создание тригонометрии и вычисление хорд). В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до Р. Х., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. К тому же и авторами их являются в большинстве случаев лица, чистота греческого происхождения которых в высшей степени сомнительна. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской М., об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее. Первое и едва ли не самое резкое выражение нашло это направление в самом начале своего развития, ок. 100 г. до Р. Хр., в сочинениях Герона Александрийского, посвященных главным образом разработке геодезии и механики и во многом напоминающих приемы, формы, а изредка даже и содержание египетской М. К этому же направлению должна быть отнесена и вызванная потребностями астрономии разработка тригонометрии, начатая в трудах Гиппарха еще в эпоху национального направления и потому являющаяся звеном, связующим последнее с прикладным направлением. Самыми крупными деятелями разработки тригонометрии были Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Связующий национальное и прикладное направления характер этой разработки выражается как в трудах по геометрии самого Птолемея, так и в еще большей степени в геометрических работах второстепенных деятелей эпохи: Геминуса Родосского, Феодосия из Триполи, Дионисодора и Серенуса из Антиссы. Как на известного нам представителя эпохи упадка этого направления можно указать на Секста Юлия Африканского, бывшего, несмотря на свое римское имя, греческим писателем. Еще более чуждым греческому гению было арифметическо-алгебраическое направление, получившее начало в неопифагорейской школе, образовавшейся в I ст. после Р. Х. Деятелями арифметики в этой школе были: Никомах Геразейский, Теон Смирнский и Тимарид. Продолжение работ неопифагорейцев в области арифметическо-алгебраического направления взяла на себя основанная во II в. после Р. Х. неоплатоновская школа в лице главным образом двух своих представителей, Порфирия и Ямблиха. Но самым крупным деятелем в области арифметическо-алгебраического направления, закончившим его развитие, был стоявший вне философских школ Диофант Александрийский. На работы этого ученого следует смотреть как на последнюю яркую вспышку угасающей греческой математической науки, напомнившую ее славное прошлое и более уже не повторявшуюся. Третьей фазой упадка греч. М. была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем ее течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своем "Собрании", этом важнейшем из его сочинений, был еще в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдаленной связи. Этой способностью, все еще вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамасций из Дамаска, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали. Четвертой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских ученых, продолжавшаяся от VII века после Р. Х. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своем языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок к переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов, представляемой, напр., такими писателями как Шамсальдин Бухарский. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониадеса Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Федора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры. Кроме этих ученых, деятелями рассматриваемой эпохи в области М., оставившими более или менее заметный след в византийской литературе, были Михаил Пселл, Николай Кабазилас, монах Варлаам, Иоанн Педиазимус, или Галенус, Максим Плануд, Николай Рабда из Смирны и Мануил Москопул.

Народом, одновременно с греками, стоявшим во главе умственного развития человечества, были индусы. Это положение было занято им, впрочем, значительно ранее греков, как это можно видеть из того, что в то время, когда греки были еще скромными учениками египтян, слава о мудрости браминов уже гремела на Востоке. До нас дошли даже темные известия, что учиться этой мудрости ездили в Индостан и некоторые из греков, именно Пифагор и Демокрит из Абдеры. Как показывают две великие религиозные системы, созданные индусами, браманизм и буддизм, национальными чертами индусского гения были склонность к философскому созерцанию, к умозрениям, стремящимся проникнуть в самую сокровенную сущность вещей и постичь необъятное и непостижимое, и стремление к построению таких систем философско-религиозного миросозерцания, которые, представляя стройное логическое целое, давали бы ответы на все великие и труднейшие вопросы и загадки, представляемые жизнью макрокосма и микрокосма, вселенной и человека. Направленные исключительно на познание внутренних отношений между вещами, индусские умозрения весьма мало заботились о внешних преходящих формах. В этом отношении индусы резко отличаются от греков, для которых так много значила форма. Занятия геометрией, как наукой, имеющей очень много дела с формами, должны были поэтому представлять для индуса гораздо менее привлекательности, чем для грека. Другое дело — наука чисел. Уже одно созерцание ряда чисел, уходящего всюду в бесконечность как при своем продолжении в обе стороны, так и в промежутках между каждыми двумя его членами, могло, хотя отчасти и кажущимся образом, приближать мысль к постижению идеи бесконечности. С другой стороны, для ума, имеющего исключительное пристрастие к познанию внутренней природы вещей, очень много привлекательного должно было представлять изучение свойств чисел и взаимных отношений между ними, являющихся так часто поразительными и неожиданными. Различия в характере национального гения у индусов и греков сказались и в различиях склада и направления способности мышления у тех и других. Индусы придают гораздо более цены результату, чем обоснованию исследования; гораздо более заботятся об ответе на вопрос как?, чем на вопрос почему? В исследовании они обращают внимание главным образом на идеи и представления и гораздо менее на понятия. Вследствие этого, очень много теряя в определенности и строгости, они выигрывают в глубине и широте. При этом указанные выше склонности ума нередко увлекают их так далеко от действительности, что глубина исследования с помощью фантазии обращается в беспредельность, а его широта — в необъятность. Отсутствие в нашем распоряжении всяких сведений о математической литературе индусов за время, предшествующее V в. после Р. Х., совершенно лишает нас возможности составить себе хотя общее представление о развитии M. y индусов. Мы имеем за это отдаленное время только одни отрывочные сведения о широком развитии интереса к счислению у индусов, выразившемся в таких фактах, как существование в санскритском языке, в эпоху создания Махабхараты, следовательно, за много лет до Р. Х., отдельных независимых друг от друга названий для единиц первых 17 разрядов десятичной системы, или, как рассказ имеющего каноническое значение жизнеописания Будды, Lalitavistara, написанного, как полагают, за 246 лет до Р. Х., об экзамене Будды из арифметики, на котором он назвал имена всех разрядов чисел до 53-го включительно, и на "мольбу" о счете, доходящем до пыли первых атомов, и об определении числа их на протяжении одной мили, он ответил решением, представляемым 15-значным числом. Большая часть наших сведений о результатах, достигнутых развитием М. у индусов, доставлена находящимися в нашем распоряжении сочинениями трех индусских астрономов и математиков: Apиaбгатты, Брамагупты и Баскары Axapuu, написанными соответственно в начале VI, в VII и XII вв. после Р. Х. Сведения эти не могут претендовать на достаточную широту и глубину как по незначительности числа произведений, известных нам в такой обширной литературе, как индусская, так и в особенности потому, что все они, как посвященные астрономии, уделяют для изложения того, что может быть для нее нужно из области М., только одну, две главы. Из изложения этих глав мы узнаем, что арифметика, алгебра и неопределенный анализ достигли у индусов наивысшей для соответствующих эпох степени развития. Если под алгеброй подразумевать приложение арифметических операций к сложным величинам всякого рода, будут ли они рациональными или иррациональными числами, или пространственными величинами, то индусов следует признать истинными изобретателями этой науки, развитие которой они довели, если иметь в виду современные программы ее изложения, до квадратных уравнений включительно. Но особенно высокой степени развития достиг у индусов неопределенный анализ, в области которого они обладали вполне разработанными методами решения в целых числах неопределенных уравнений с двумя неизвестными 1-й и 2-й степеней. Из этих методов тот, который, под именем "циклического" они употребляли для решения неопределенных уравнений 2-й степени, по своему утонченному остроумию превосходит решительно все, что было сделано в области теории чисел до Лагранжа. Да и самый этот метод европейские математики, в лице Лагранжа, вторично нашли независимо от индусов только около 1769 г. (см. мемуар Лагранжа: "Sur la solution des probl èmes indéterminés du 2 degré ", в "Mémoires de l'Académie de Ber lin", т. 23). Если таким образом в области науки чисел индусы в свое время стояли во главе развития М., то ничего подобного нельзя сказать о геометрии, в области которой они далеко отставали от греков. Да и то, что они сделали в ней более замечательного, как найденное помощью приложения алгебраических методов, должно быть отнесено к области приложений алгебры к геометрии. Для чистой геометрии, в том виде, в каком она сформировалась, напр., у греков, индусы сделали сравнительно немного. Главную причину такой отсталости индусской геометрии от греческой едва ли не следует видеть в различии приемов доказательства, употребляемых тем и другим народом в области этой науки. В то время как греки пользовались для этого строго определенными логическими построениями, индусы ограничивались одним непосредственным усматриванием справедливости доказываемого, достигаемым путем продолжительного рассматривания фигуры, снабженной всеми необходимыми вспомогательными линиями. Главнейшими вспомогательными средствами при этом, по-видимому, служили принцип совпадения вместе с вытекающим из него, в качестве особого случая, принципом симметрии и принцип подобия. С помощью этих принципов, при условии их полного и точного определения, могло бы быть развито все содержание геометрии и притом не в форме конгломерата, как в элементах Эвклида, а в строгой систематической форме, в которой прогресс науки был бы руководим идеями не случайного происхождения, а лежащими в существе предмета. С тригонометрией индусов находящиеся в нашем распоряжении сочинения знакомят только по ее приложениям к астрономии. Но и этого достаточно, чтобы видеть, что она настолько же отличается от греческой, насколько все арифметическо-алгебраическое направление математического гения индусской нации отличается от греческого национального направления. Всего яснее это выражается в способах составления тригонометрических таблиц. В то время, как греческие астрономы пользовались для этого целыми хордами, соответствующими двойным центральным углам, индусы составляли свои таблицы с помощью синусов, косинусов и синусов-версусов и существующей между ними зависимости, исходя из определяемых с помощью геометрии величин sin 30° и sin 45°. Это дает нам право заключить, что тригонометрия у индусов разрабатывалась как один из отделов приложений алгебры к геометрии, т. е. в той же форме, какую она имеет и в настоящее время.

Отставшей нацией, которая в деле дальнейшего продолжения умственного развития человечества готовилась выступить на смену его последних по времени передовых представителей, индусов и греков, были арабы. Вполне осуществить принимаемую ими в этом на себя великую задачу им, однако же, не удалось. В области М., пройдя период усвоения знаний, приобретенных человечеством, они, вследствие неблагоприятных политических обстоятельств, должны были остановиться на самом начале следующего периода самостоятельной деятельности. Находясь под одновременным воздействием индусов и греков, арабы в деле заимствования от тех и других сокровищ их науки шли не одним и тем же путем. Знакомство с индусской наукой приобреталось ими, по-видимому, таким же образом, как в древности знакомство греков с египетскими знаниями, т. е. через изучение на месте, производимое главным образом помощью устной передачи. Действительно, переводов индусских математических сочинений на арабский язык у арабов, насколько нам известно, совсем не было, и все, что они приобрели от индусов, было принесено к ним или их собственными путешественниками, отправлявшимися в Индостан, или такими как Альбируни, живавшими там иногда долгое время, или приходившими к ним учеными индусами. Полная доступность греческой науки для всех желающих, составлявшая с самого распадения пифагорейского союза характеристическое ее свойство, дала арабам возможность видеть их всех переведенными на свой язык. Это счастливое для арабов обстоятельство дополнялось еще тем, что в лице освоенных до некоторой степени с греческой образованностью просвещенных людей Малой Азии и Персии, между которыми выдающееся положение занимали сирийские христиане — несториане, арабская литература имела готовый контингент способных и знающих дело переводчиков. Наибольшего развития переводческая деятельность этих последних достигла во второй половине VIII и первой IX ст. Наиболее выдающимися из них в области М. были: Гунаин ибн Исгак, сын его Исгак ибн Гунаин, Табит ибн Курра и Куста ибн Лука. Несмотря на гораздо меньшую доступность арабам индусской М., они вполне усвоили арифметическо-алгебраическое направление индусов и остались почти совершенно чуждыми строго-геометрическому направлению греков. Нам, конечно, при нашем недостаточном знакомстве с индусской математической литературой, трудно отделить в сочинениях арабских математиков то, что принадлежит им самим, от заимствованного у индусов, но несомненно одно, что все известные нам сочинения араб. математиков, которые могут быть признаны самостоятельными, принадлежат арифметическо-алгебраическому направлению, а следовательно, к нему же принадлежат, за немногими исключениями, и все самостоятельные работы арабских математиков. Более выдающимися из известных нам деятелей арабской M. y восточных арабов были в IX в.: Мухаммед ибн Муза Альхваризми, Мухаммед ибн Муза ибн Шакир и его братья, Ахмед и Альгасан (известны своими работами по геометрии), Табит ибн Курра (упомянут выше в числе переводчиков), Альмагани, Абу Джафар Алхазин, астроном Аль-Баттани (известен своими работами по тригонометрии); в Х в. астрономы: Абул Вафа и Алькухи (последний известен своими работами по геометрии), также известные работами по геометрии Аль-Сагани и Альсиджци, или Альсинджари, Абу Мухаммед Альходжанди (работы по теории чисел), Альхузаин (работы по приложениям алгебры к геометрии); в XI веке: Ибн-Сина, или в западно-европейской переделке Авиценна (работы по арифметике), Альбируни (работы по арифметике и геометрии), Абул-Джуд (работы по геометрии и алгебре), известные работами по алгебре и по калькуляторской части М. Альназави и Алькарки, Омар Алькайами. К восточно-арабским математикам следует причислить также и двух, действовавших на почве древнего Египта: жившего в Х веке Ибн-Юнуса из Каира и жившего в XI веке Ибн Альгаитама. Последний не был даже уроженцем Египта и происходил из города аль-Басра. У западных арабов главное внимание было обращено на изучение астрономии. Вследствие этого М. занимала у них второстепенное положение, только как преподавателей мы и знаем первых из известных нам западно-арабских математиков: Х в. Альмадскрити и действовавших главным образом в XI в. его учеников: Алькармани, Ибн ас-Сафари и Альгарнати. Также и жившие в XIII в. Ибн-Альбанна и в XV — Алькальсади известны нам как авторы сочинений, имеющих ясно выраженный учебный характер. Другим характером отличается, разве только, входящая в состав сочинения по астрономии работа по тригонометрии астронома XI века Джабира ибн Афлах. Главную причину такого невысокого состояния западно-арабской М., почти не способного дать место самостоятельным исследованиям, едва ли не следует видеть в постоянных войнах, которые западные арабы вели между собой, и, кроме того, — и с христианами. Преждевременный конец только что начавшемуся периоду самостоятельной деятельности арабов в М. был положен начавшимися ок. 1100 г. крестовыми походами, а также и происходившими одновременно с ними междоусобными войнами, и затем довершен покорением восточно-арабской монархии монголами. Все известные нам в XII в. и в следующих столетиях произведения араб. математической литературы свидетельствуют о ясно выраженном периоде упадка. Известными нам деятелями этой печальной эпохи в области М. были: в XIII в. Абу Джафар Мухаммед ибн Гасан аль Тузи, более известный под прозвищем Насир-Эддина, в XIV веке Кадизадех Ар-Руми, в XV в. сын предыдущего — Мирам Челеби и Джитат эддин аль-Kaшu, в XVI и в начале XVII в. Бега-Эддин. В заключение нельзя не заметить также, что и период усвоения арабами знаний, приобретенных человечеством в области М., не может считаться законченным. Продолжать развитие М. арабы оказались способными только в духе и направлении индусов. До овладения же направлением и духом греческой геометрии им было еще далеко.

Несколько ранее арабов начала готовиться к продолжению умственного развития человечества Западная Европа. Но природа северных народов не позволила М. двигаться в этом направлении с такой же быстротой, с какой, благодаря живой восприимчивой природе южан, прогрессировали арабы. Начав позже Западной Европы, они сделались, как мы сейчас увидим, ее учителями. Период усвоения Западной Европой знаний, приобретенных человечеством, представляет две ясно различимые фазы. Первой была фаза усвоения римских знаний.

Из народов, бывших учениками греков, римляне, в области М., едва ли не оказались наименее способными. Все, что в течение своих многовековых сношений с греками они могли заимствовать от них по части наук математических, не шло далее или энциклопедических обозрений содержания их элементарной части, представляемых сочинениями Варрона, Марциана Капеллы и Кассиодора, или собраний сведений, необходимых для архитектуры, как в сочинении Bumpyвия, и особенно для землемерия, как в сочинениях Колумеллы, Фронтинуса и землемеров по профессии — Гигинуса, Вальбуса, Липсуса, Эпафродитуса и Витрувия Руфуса, или, наконец, таких элементарных произведений учебного характера, как принадлежащий Аппулею перевод "Арифметики" Никомаха Геразенского и как другой перевод той же книги, сделанный Боэцием, вместе с сочинением последнего, посвященным геометрии. Ввиду такого низменного состояния римских математических знаний нельзя и надеяться найти в них проблески самостоятельной мысли. Можно сказать вообще, что даже и в периоде усвоения знаний, приобретенных человечеством, римляне ушли вперед очень недалеко. Усвоение же римских математических знаний Западной Европой сосредоточивалось почти исключительно в монастырях, которые со времен Бенедикта Нурсийского и Кассиодора взяли на себя роль охранителей сокровищ древней науки от бесследного уничтожения. Поэтому первыми деятелями западно-европейской математической литературы являются исключительно монахи, из которых более выдающимися для своего времени были: Изидор Испанский в VII в., Беда Досточтимый и Алкуин в VIII в., и Герберт в Х в., бывший под именем Сильвестра II римским папой. Второй фазой усвоения Западной Европой знаний, приобретенных человечеством, было усвоение арабской науки, начавшееся в области М. с деятельности Герберта, затем все усиливавшееся и с эпохи крестовых походов сосредоточившее единственно на себе всю деятельность западно-европейских математиков. Деятельность переводчиков арабских математических соч. на лат. язык началась в оставшейся за христианами части Испании еще до посещения ее Гербертом и едва ли не с трудов Люпитуса Барцелонского. Наибольшее развитие она получила в XII в., к которому принадлежат такие крупные ее представители, как Ателарт Батский, Платон Тибуртинский, Герард Кремонский, Рудольф из Брюгге и Иоаин Севильский, или Испанский. В XIII в. она уже стала падать, несмотря даже на деятельную поддержку, оказываемую ей такими меценатами, как император Фридрих II и король кастильский Альфонс X. Самым выдающимся из переводчиков в этом веке был Джованни Кампано, а более замечательными из второстепенных — Гильельмо де Люнис и астроном Герард из Саббионетты. Работами Кампано деятельность переводчиков с арабского языка на латинский в области М., по-видимому, закончилась, так как современной науке не известно ни одного перевода, сделанного позже 1270 г. Прекращение этой деятельности произошло с такой же быстротой и неожиданностью, как и переход ее с начала XII в. от почти незаметного состояния к размерам, которые для своего времени прямо могут быть названы грандиозными. Усвоения арабских математических знаний Западная Европа достигла, говоря относительно, довольно рано, именно с самого начала XIII столетия, но только в лице одного человека, значительно опередившего современников, именно — Леонардо Пизанского, известного под фамилией Фибоначчи. На усвоение содержания его сочинений, а вместе с тем и всего, что было доставлено Европе деятельностью переводчиков, соотечественниками Леонардо — итальянцами, а за ними, или, точнее, через посредство их университетов, и всей Западной Европой, было потрачено около 8 столетий. Более выдающимися деятелями этой эпохи в области математики были: в ХIII в. в Германии: Иордан Heморариус, Виттеллио и Вильгельм Мербеке; в Англии: Иоаин Сакробоско и Рожер Бако; во Франции Винцент де Бове; в XIV в. в Англии: Ричард Валлингфорд, Модиз, Симон Бредон (Бириданус) и Томас Брадвардин; во Франции: Иоанн де Мурис, Иоанн де Линериис, Доминик Парижский и Николай Орезм; в Германии: Альберт Саксонский и Генрих Гессенский;, в Италии: Паоло Дагомари и Биаджио из Пармы; в XV в. в Англии: Иоанн Норфольк; в Германии: Иоанн Гемунден, Георг Пеурбах, Николай Куза, Иоанн Видманн из Егера и Иоанн Мюллер, или Региомонтан; в Италии: Просдочимо де Бельдоманди. Насколько Леонард Пизанский опередил свое время, всего лучше можно видеть из того, что усвоение арабской науки даже в самой Италии двигалось до такой степени медленно, что достижение его средним уровнем итальянских математиков может считаться вполне состоявшимся никак не ранее второй половины XV в. Внешним обнаружением факта этого достижения является составление около 1494 г. таким дюжинным заурядным математиком, как Лука Пачиуоло, свода почти всего, что получила Европа от арабов в области М., — свода, составленного главным образом по сочинениям Леонарда Пизанского. Таким образом в конце XV в. фаза усвоения арабской математической науки Западной Европой может считаться закончившейся. Еще более сильным подтверждением этого заключения является начатое с первых лет ХVI в. итальянскими математиками Ферро, Тартальей, Карданом и Феррари вполне самостоятельное продолжение работ араб. математиков в области алгебры. В работах названных четырех математиков ученики арабов не только сравнялись с учителями, но и повели их дело дальше. Однако же, явившись таким образом самостоятельными деятелями на почве усвоенного ими в форме арабской М. арифметическо-алгебраического направления, западно-европейские математики все еще оставались слабыми и робкими учениками в отношении гораздо более зрелой и развитой греческой науки, с которой они теперь впервые стали лицом к лицу, после падения Византии. Ранее, в средние века, знакомство с некоторыми из этих произведений достигалось не непосредственно, а с помощью арабских и сделанных с них более или менее искаженных латинских переводов. Следствием такого изменения отношений Западной Европы к греческой науке было широкое развитие с самого начала XVI в. переводческой деятельности с греческого языка на латинский и даже на некоторые из новых языков. Но, к сожалению, в области М. эта деятельность сосредоточивалась главным образом в руках ученых типографов, не бывших специалистами по М. Из математиков в XVI столетии много занимались переводами Мавролик и Коммандин в Италии; Пельтье, или Пелетариус, во Франции, Вильгельм Гольцманн, или Ксиландер, Конрад Дазиподиус, Кристоф Клавиус в Германии. Сделавшееся путем этих переводов доступным Западной Европе содержание классических произведений греческих геометров усваивалось ее математиками очень медленно; вглубь же методов они совсем не могли проникнуть, так что поневоле должны были ограничиваться только крайне поверхностным знакомством с ними. Некоторые проблески самостоятельной мысли в духе греческой геометрии замечаются, в рассматриваемую эпоху, только у двух знаменитых художников, бывших в то же время и геометрами, у Леонардо да Винчи и у Альбрехта Дюрера. Meнее заметными деятелями в той же области в течение XVI в. были в Италии: Георг Валла и Бенедетти; во Франции: Шарль де Бувелль, Жан Бютео и философ Петр Рамус; в Германии: Иоанн Вернер, Иоанн Рихтер, или Преториус, и Яков Кристман; в Голландии Симон Стевин и Адриен фан-Роомен.

Как и следовало ожидать, главная часть сил западно-европейской М. предалась работам в области арифметики и алгебры. За исследованиями, значительно раздвинувшими пределы последней, последовало ее приведение в стройную научную систему, впервые сделанное Рафаэлем Бомбелли и потребовавшее с его стороны некоторых дополнительных изысканий. В том же направлении углубления и разработки уже открытых частей алгебры очень много сделал Франсуа Bиеma. Особенно важное значение в философском и научном отношении должно быть признано за его трудами по установлению и развитию алгебраического знакоположения, результатом которых был переход последнего из предыдущего хаотического состояния в частную форму идейного письма, хотя еще и до сих пор не достигшую своего идеала, но все-таки постепенно к нему приближающуюся. Более заметными деятелями арифметическо-алгебраической литературы XVI в. были в Италии: Галигай и Габриель де Араторибус; во Франции: Николай Шюке, Этьен де ла Рош, Оронций Финеус, Жан Фернель и Иодокус Клихтовеус; на Пиренейском п-ове: Цируело, Жуан де Ортега и Педро Нунес; в Англии: Тонсталль и Роберт Рекорд; в Германии: Генрих Шрейбер, или Грамматеус, Христофф Рудольфф, Генрих Штромер, Петр Anиaн, Филипп Меланхтон, Гемма Фризиус, Грегор Рейш, Хусвирт, Тцвифель, Яков Кобель, Адам Ризе, и самый выдающийся из германских алгебраистов XVI в., Михаил Штифель. Так как самостоятельные геометрические работы в духе и направлении греческих геометров совсем отсутствовали в Западной Европе, то все сколько-нибудь ценные вклады в науку геометрии доставлялись завещанной индусско-арабской наукой областью приложений алгебры к геометрии и такими их отделами, как циклометрия и тригонометрия. В общей области приложений обращают на себя внимание в XVI в. труды Франсуа Bиemы, в отделе тригонометрии труды Петра Anиaнa, Иoaннa Вернери, Ретикуса и Бартоломея Питискуса в Германии и Aдpиeнa фан Роомена в Голландии; в отделе циклометрии: Жозефа Скалигера во Франции; Людольфа фан Цейлен и Адргиена Меция в Голландии. Прогресс геометрии даже и в духе арифметическо-алгебраического направления совершался с большей медленностью до тех пор, пока философ и математик Рене Декарт не завершил в XVII веке предшествующую ему разработку приложений алгебры к геометрии, окончательным введением геометрии в круг наук, развивающихся с помощью алгебры, или, вообще говоря, анализа. В методах великого творения Декарта — "Аналитической геометрии" — и еще более в открытом вскоре Ньютоном и Лейбницем анализе бесконечно малых геометрия, хотя и на совершенно чуждой ей почве, нашла, наконец, методы, которых недоставало для дальнейшего развития даже в руках таких геометров, как Архимед. С этого времени развитие геометрии пошло быстро вперед, но не самостоятельным путем, при помощи средств, являющихся прямыми результатами ее природы, а путем, всецело принадлежащим чуждой области арифметическо-алгебраического направления, и при помощи средств, имеющих хотя и тесную, но все-таки побочную, непрямую связь с природой геометрии. Таким образом, западно-европейские математики сделались самостоятельными деятелями также и в закрытой для них до сих пор области геометрии, явившись продолжателями дела древних греческих геометров, хотя не по духу и средствам, а только по содержанию предмета. Работы, создавшие высший анализ, начались с допущенных математиками XVI в. отступлений от требований строгой очевидности, которыми Архимед обусловливал употребление метода исчерпывания. Наибольшего развития эти отступления достигли в гениальном сочинении астронома Кеплера: "Nova stereometria doliorum vinanorum etc." (Linc., 1605), во многом предугадавшем и даже предвосхитившем последующий ход развития. Следующими за тем ступенями развития, постепенно приближавшими высший анализ к превращению в анализ бесконечно-малых, представший Ньютону в форме метода флюксий, а Лейбницу в форме дифференциального интегрального исчислений, были: метод неделимых Кавалери, методы квадратур и кубатур Ферма, Роберваля, Паскаля и Валлиса, способы Роберваля и Барроу проведения касательной к кривым и, наконец, метод определения наибольших и наименьших величин Ферма и основанный на этом методе его же способ проведения касательной.

XVII в. ознаменовался также важными успехами практики вычислений, состоявшими во введении во всеобщее употребление Симоном Стевином десятичных дробей и в открытии логарифмов Иобстом Бюрги и Джоном Непером. Тому же веку принадлежит и заслуга создания, трудами Паскаля и Ферма, теории вероятностей, как самостоятельной науки. Этим же двум ученым наука обязана значительными успехами в области неопределенного анализа и теории чисел. Главным предметом деятельности математиков XVIII века было развитие созданного в прошлом столетии анализа бесконечно-малых и его приложений, преимущественно к геометрии и механике. В числе много различных результатов упомянутого развития заслуживают особенного внимания приведшие к созданию таких новых отраслей математического анализа, как вариационное исчисление и исчисление конечных разностей. Все важнейшие труды, как великих математиков эпохи, Эйлера и Лагранжа, так и всех сколько-нибудь выдающихся, были посвящены указанному главному предмету деятельности века. Но при этом они не забывали также и другие математические науки, которые все приобрели в XVIII в. более или менее значительные приращения. С точки зрения истории развития М. в Западной Европе, особенное значение в среде многоразличных успехов XVIII в. имеют сделанные в области разработки геометрии в исходящем из ее природы направлении древних греческих геометров, или, короче, в области синтетической геометрии. Увлеченные легкостью и быстротой открытия новых геометрических истин на почве аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых, математики XVII и XVIII вв., за немногими счастливыми исключениями, не придавали должного значения тому, что разрабатывают геометрию на чуждой ей почве индусско-арабского арифметическо-алгебраического направления. Другими словами, они не обращали внимание на то, что все еще не овладели греч. наукой вполне. Только немногие из них, глубже других проникшие в последнюю, как Дезарг, Паскаль, делали несмелые попытки работать в одном с ней направлении. Такое, обусловливаемое ходом умственного развития, невольное игнорирование синтетич. геометрии продолжалось до конца XVIII в., когда наконец трудами Монжа , в созданной им "Начертательной геометрии", и Карно, в его "Геометрии положения", были даны средства ее развития. Последователям этих ученых, действовавшим уже в XIX в., Понселе, Штейнеру, Шалю и др., оставалось только, продолжая их дело далее, быстро повести развитие геометрии по новым для Западной Европы, чисто геометрическим путям. Только с этого времени усвоение западно-европейскими народами греческой геометрии может считаться закончившимся вполне, а сами они могут быть признаны взявшими в свои руки дальнейшее развитие М. во всех известных областях и направлениях. Выразившаяся в этом последнем успехе в деле усвоения знаний, приобретенных человечеством, полная зрелость математического гения народов Западной Европы ознаменовалась в XIX в. такими важными и быстрыми успехами всех отраслей М., которые совершенно затмевают все, сделанное в прошлом XVIII в., и для сколько-нибудь достаточного изображения которых предлагаемый очерк не может дать места.

Для России период самостоятельной деятельности в области М. начался с конца первой четверти XIX в., хотя, как это всегда бывало в соответствующих случаях и прежде, провозвестники его наступления, в виде работ академиков Румовского, Котельникова, Гурьева и Висковатова, появлялись еще в конце XVIII и в начале XIX вв. Само собой разумеется, что в качестве провозвестников, эти работы могли быть и были опытами самостоятельного решения различных частных вопросов, давно уже выдвинутых движением науки. После 1825 г. в геометрических трудах Лобачевского, только недавно оцененных по достоинству Западной Европой, и в работах по чистой и прикладной М. Остроградского и Чебышева, оценка которых, благодаря положению авторов, как членов СПб. акад. наук, и их связям в ученом мире, последовала гораздо скорее и выразилась в их избрании в число немногих иностранных членов Парижской академии наук, русская математическая наука получила общее признание в Западной Европе и заняла довольно видное положение. В последние 30 лет труды русских математиков не только охотно помещались в иностранных периодических изданиях, но нередко обращали на себя внимание Зап. Европы даже и в русском оригинале. Главными двигателями быстрого развития в России самостоятельной деятельности в области М., наряду с Академией наук, явились в последнее время возникшие при университетах математические общества. Первым основанным в России обществом этого рода было возникшее в 1811 г. при Моск. университете Общество математиков. Но, по условиям времени, оно могло преследовать не ученые, а только чисто учебные цели, выразившиеся в составлении и переводе учебников и в организации лекций по математическим наукам для желающих. Существование Общества было непродолжительно и закончилось вызванным тяжелыми обстоятельствами времени неожиданным превращением его в Училище колонновожатых. Появление ученых математических обществ сделалось возможным в России только в 1860-х гг., когда (в 1864 г.) было основано старейшее из них, Московское математическое общество. Затем были основаны: в 1879 г. Харьковское математическое общество, в 1869 г. Киевское физико-математическое общество, в 1890 г. Казанское физико-математическое общество и в 1894 г. СПб. математическое общество. Киевское и Казанское общества существовали, впрочем, и ранее в виде секций физико-математических наук при обществах естествоиспытателей тех же городов. Как на самый крупный из результатов деятельности этих обществ на пользу и преуспеяние русской математической науки, следует указать на издаваемые ими периодические издания и сборники своих протоколов и ученых трудов. В настоящее время органами русской математической литературы, кроме изданий Академии и ученых записок университетов, служат следующие периодич. издания частных лиц и ученых обществ. В Москве: "Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем", издаваемый В. В. Бобыниным и посвященные главным образом истории, философии и библиографии физико-математических наук (выходит XIII том); "Математич. Сборник" (см.), издав. Моск. математическим обществом (выходит XVIII том) и "Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания (выходит VIII том). В Казани: "Известия Физико-математического общества при Имп. Казанском университете" (выходит VI т.). В Харькове: "Сообщения Математического общества при Харьковском университете" (выходит V т. 2-й серии). В Одессе: "Вестник опытной физики и элементарной математики", популярно-научный журнал, издаваемый с 1886 г. (со второй половины) Э. К. Шпачинским. Заключать от этого сравнительного обилия периодических изданий, посвященных М., к существованию интереса к ее развитию в русском образованном обществе, было бы, однако, большой ошибкой. Такого интереса нет даже в меньшинстве, получившем высшее математическое образование, как это можно видеть не только из опыта редакций этих изданий, но и из того общеизвестного факта, что все эти издания, за исключением одного, существуют не на собственные доходы, а на субсидии правительства или на средства, доставляемые издающими их обществами.