— M. называется совокупность тел, ограничивающих свободу движения друг друга взаимным сопротивлением настолько, что все точки такой системы способны описывать только вполне определенные кривые (траектории) и при данной скорости одной из точек скорости и ускорения всех остальных точек системы являются вполне определенными. М. служат для передачи и преобразования движения. Как преобразователь движения М. видоизменяет скорости, или траектории, или и то, и другое. Он преобразует скорости, если при известной скорости одной из его частей другая его часть совершает движение, подобное движению первой, но с другой скоростью. М. преобразует траекторию, если, в то время как одна из его точек описывает известную траекторию, другая описывает другую заданную траекторию. Определенность движения М. достигается попарным соединением его частей. Если требуется поставить тело A в такие условия, чтобы оно могло проходить последовательно только через определенные положения, то определяют поверхность, касательную ко всем этим положениям тела A (такая поверхность называется огибающей) и делают в неподвижном теле B канал, имеющий форму найденной огибающей. Тело A, помещенное в такой канал, будет способно только к определенному движению. Такая совокупность двух тел, в которой формой одного тела определяется весь ряд последовательных положений, которые способно в нем занять другое тело, называется кинематической парой. Тела, составляющие пару, называются ее звеньями. Например, тело, имеющее призматический канал, и помещенная в этом канале призма составляют поступательную пару, потому что одно из этих тел может совершать относительно другого только поступательное движение. Цилиндрическая втулка и помещенный в ней шип, снабженный закраинами, не дающими ему выскочить из втулки, составляют вращательную пару. Винт и гайка составляют винтовую пару. Расстояние между нарезками винта, считаемое по направлению оси винта, называется его шагом, так что, обойдя винт один раз, нарезка приближается к концу винта на один шаг. Поступательная пара может быть математически рассматриваема как такая винтовая, шаг которой равен бесконечности. Вращательная пара может быть рассматриваема как винтовая, шаг которой равен нулю. Эти пары называются простыми; отличительное свойство их заключается в том, что в них относительное движение одного звена по отношению к другому тождественно с относительным движением второго звена по отношению к первому. Пары, не обладающие этим свойством, называются высшими. Таковы: зацепляющиеся между собой зубчатые колеса, шкив и перекинутый через него ремень, дуговой двухсторонник и полая трехгранная призма и многие другие. Движение звена A в звене B называется обращенным по отношению к движению звена B в звене A. Одну из наиболее интересных высших пар представляет собой эллиптический циркуль. Он состоит из доски, в которой сделаны два крестообразно пересекающихся между собой прямолинейных, перпендикулярных друг к другу прореза, и из стержня с выступающими на концах цилиндрическими шипами, диаметры которых равны ширине прорезов. Стержень вставляется шипами в прорезы так, чтобы один шип ходил по одному, а другой по другому из прорезов; с противоположной стороны на шипы навинчиваются винты с головками, препятствующими шипам выскочить из прорезов. При неподвижности доски траектория всех точек стержня суть эллипсы; как частные случаи эллипсов траектория центров шипов суть прямые линии, а траектория середины стержня — окружность. Движение стержня относительно доски происходит так, как будто бы соединенный с ним круг, построенный на нем как на диаметре, катился по внутренней стороне окружности, описанной из точки пересечения средних линий прорезов радиусом, равным диаметру катящегося круга. В обращенном движении, т. е. при неподвижности стержня, все точки доски описывают улитки Паскаля (см. Кривые). Звено B, соединенное в какую-либо пару со звеном A, может быть соединено в пару же со звеном C, которое, в свою очередь, может составлять пару со звеном D и так далее. Такое последовательное соединение звеньев в пары называется кинематической цепью. Если последнее звено кинематической цепи соединено в пару с первым, то цепь называется замкнутой, в противном случае она называется открытой. Такая кинематическая замкнутая цепь, которая при неподвижности одного из звеньев получает определенность движения, характеризующую М., называется принудительной. Когда в принудительной цепи одно из звеньев предполагается неподвижным, то говорят, что цепь поставлена на этом звене. Ставя принудительную цепь последовательно на разные ее звенья, получим столько М., сколько имеется звеньев в цепи. Примером принудительной цепи может служить шарнирный четырехсторонник, состоящий из четырех стержней, соединенных между собой вращательными парами, называемыми шарнирами. М., все точки которого описывают траектории, лежащие в параллельных между собой плоскостях, называется плоским. Движение твердого тела, в котором все точки его описывают траектории, параллельные одной и той же плоскости, называется также плоским. Всякое плоское движение происходит так, как будто бы некоторая кривая, соединенная неизменяемо с движущимся телом, катилась по некоторой другой неподвижной кривой. Эти кривые называются полодиями. Полодии, как катящиеся друг по другу кривые, постоянно прикасаются одна к другой. Их общая точка прикосновения называется мгновенным полюсом (см. Кинематика). В течение весьма малого промежутка времени движение тела можно рассматривать как бесконечно малое вращение около мгновенного полюса. Так, например, в описанном выше эллиптическом циркуле движение, как мы видели, приводится к катанию одного круга по другому; эти круги и есть суть полодии данного движения. Если бы весь эллиптический циркуль (и доска, и стержень) был подвижен, то все-таки относительное движение стержня и доски было бы то же самое и определялось бы катанием тех же полодий. Относительное движение каждых двух звеньев принудительной цепи, хотя бы эти звенья и не были соседними, составляя пару, характеризуется катанием двух соответствующих полодий (в плоском механизме). Всякое движение твердого тела (не плоское) приводится к катанию друг по другу, соединенному со скольжением, двух линейчатых поверхностей, называемых аксоидами. Наибольшим практическим значением из всех высших пар пользуются зубчатые колеса, представляющие собой необходимое для преодоления более или менее значительных сопротивлений видоизменение катков. Цилиндрическими катками называются цилиндрические твердые тела, вращающиеся около своих геометрических осей и прикасающиеся друг к другу своими боковыми поверхностями, которые делаются шероховатыми. Если вращать один из таких катков, то благодаря существующему между катками трению и другой будет вращаться. Скорости вращения были бы обратно пропорциональны радиусам, если бы катки не скользили один по другому. Полодиями относительного движения двух соприкасающихся катков служат окружности основания самих катков. Чтобы устранить скольжение полодий, можно было бы на каждом из катков сделать впадины и выступы, чтобы выступы одного входили во впадины другого. Это и будут зубчатые колеса. Полодии двух зацепляющихся между собой зубчатых цилиндрических (лобовых) колес суть окружности, называемые начальными. Отношение угловых (вращательных) скоростей обратно пропорционально радиусам начальных окружностей. Впадины и выступы зубчатого колеса образуют зубцы. Расстояние между двумя соответственными точками пересечения профилей двух соседних зубцов с начальной окружностью, считаемое по этой окружности, называется шагом. Приготовление зубчатого колеса начинается с того, что начальную окружность его, размер которой определяется по данной относительной скорости колеса, делят на столько равных частей, сколько зубцов предполагается сделать на колесе; расстояние между соседними точками деления и будет равно шагу. Шаги сцепляющихся колес должны быть равны между собой, а, следовательно, радиусы начальных окружностей пропорциональны числам зубцов. Если полодии относительного движения двух зубчатых колес суть окружности, то отношение скоростей обратно пропорционально радиусам полодий и, следовательно, постоянно; такое постоянство и требуется от правильно устроенных колес, а так как в зубчатых колесах полодии ничем не отмечены, то самая форма зубцов должна быть такова, чтобы при сцеплении их относительное движение колес характеризовалось бы круговыми полодиями данных радиусов.

Существует несколько способов определения правильной формы зубцов, удовлетворяющих этому условию. Все эти способы основаны на следующем соображении. Пусть дан профиль зубца колеса A; покатим начальную окружность колеса A по начальной окружности колеса B на один шаг и найдем огибающую ко всем положениям, принимаемым при этом данным зубцом; эта огибающая и будет, по общему методу построения пар, представлять собой искомую форму зубца колеса B. Способ этот приложим к определению вида зубца колеса B в том случае, когда профиль зубца колеса A есть маленькая окружность, описанная из точки деления начальной окружности радиусом, раза в четыре меньшим шага; такое колесо называется цевочным и имеет зубцы, называемые цевками, в виде палок, параллельных оси колеса; профили цевок суть кружки, представляющие собой сечения цевок плоскостью, перпендикулярной к оси колеса. Покатим цевочное колесо A по колесу B; при этом центр цевки опишет эпициклоиду и огибающая последовательных положений цевки будет кривая, параллельная этой эпициклоиде и отстоящая от нее на расстояние радиуса цевки. Этой кривой и нужно ограничить бок зубца колеса B. Полный зубец ограничивается двумя такими боками, расположенными симметрично относительно средней линии зубца, направленной по радиусу колеса. а) Способ рулетт. Рулеттой называется кривая, чертимая какой-нибудь точкой кривой A, катящейся по кривой B. Пусть начальные окружности M и N колес соприкасаются взаимно в точке O. Построим произвольных радиусов вспомогательные круги P и Q, из которых P имел бы внутреннее прикосновение в точке O с M, круг же Q имел бы внутреннее прикосновение тоже в точке O с N. Покатим все четыре круга один по другому так, чтобы они постоянно соприкасались бы в одной точке. Изберем на P какую-нибудь точку a. Эта точка при катании P по M опишет гипоциклоиду p и при катании P по N опишет эпициклоиду q. Кривые p и q будут в течение движения соприкасаться взаимно потому, что обе чертятся одной и той же точкой a. Если принять p за форму впадины зубца колеса M, то q будет огибающая различных положений p и, как таковая, может быть принята за профиль выступа колеса N. Выступ колеса M и впадина колеса N образуются катанием кривой Q подобным же образом. Если взять радиус вспомогательной окружности P вдвое меньшим, то (как это видно из приведенной выше теории эллиптического циркуля) гипоциклоида p получает вид прямой. б) Способ развертывающих. Пусть O есть точка соприкосновения начальных окружностей; проведем через нее прямую, наклоненную к линии центров CC' под углом 75°, опустим из центров C и C' перпендикуляры CA и C'B на эту прямую и опишем из C и C' окружности радиусами CA и C'B; вообразим себе твердые цилиндры, построенные на найденных вспомогательных окружностях, как на основаниях; обернем около цилиндра CA нитку, свободный конец которой вытянем до O, и в этом месте укрепим на нитку карандаш. Двигая карандашом направо и налево так, чтобы идущая с цилиндра нить оставалась натянутой, не скользила бы по цилиндру, а только развертывалась бы несколько с него при движении карандаша в одну сторону и навертывалась бы при движении карандаша в другую сторону, начертим кривую, называемую развертывающей (см. Кривые, табл. II, фиг. 11). Эта кривая и будет профилем зубца колеса C. Профиль зубца колеса C' получается развертыванием нити с окружности C'B. в) Кроме этих точных способов построения зубцов, существуют еще приближенные, состоящие в нахождении круговых дуг, близко подходящих к теоретически правильным кривым. Из таких способов наиболее известны изобретенные Виллисом, Чебышевым и Петровым. Длина зубцов определяется из условия, чтобы постоянно находились в зацеплении три зубца.

Для того, чтобы, не увеличивая длины зубцов, дать возможность большему их числу находиться в одновременном зацеплении, поступают следующим образом: на готовое зубчатое колесо кладут, так чтобы оси их совпадали, другое такое же колесо и поворачивают его на ¹/₅ шага, на это колесо кладут третье и поворачивают его на ¹/₅ шага относительно второго и так далее накладывают одно на другое пять колес, которые и скрепляют между собой наглухо в таком положении или, еще лучше, отливают целиком штуку, имеющую форму таких сложенных колес; то же делают и для того колеса, которое должно сцепляться с приготовленным таким образом колесом. Такие колеса называются ступенчатыми, так как боковые поверхности их оказываются покрытыми ступенчатыми линиями. Если бы для приготовления ступенчатого колеса мы взяли не 5 толстых колес, отступающих друг от друга на ¹/₅ шага, а бесконечное множество бесконечно тонких колес, отступающих друг от друга на бесконечно малую часть шага, то на боковой поверхности получили бы не ступенчатые, а винтовые линии. Такие колеса с винтообразно идущими зубцами и отливаются (конечно целиком, а не из бесконечного числа тонких колес, рассматриваемых только в теории). Эти колеса, по имени изобретателя называемые колесами Гука, употребляются в М., требующих большой плавности движения. При помощи именно колес Гука знаменитый мастер Бреге устроил, для определения по мысли Араго и Физо скорости света в жидкостях, снаряд, в котором маленькое зеркальце делало до 2000 оборотов в секунду. Цилиндрические (лобовые) колеса употребляются для передачи вращения между осями параллельными. Для передачи вращения между осями пересекающимися употребляются конические колеса, а для передачи между осями непараллельными и непересекающимися служат гиперболоидные колеса. Винт, способный вращаться около своей оси, но не имеющий поступательного движения, может быть помещен так, чтобы составлять с зубчатым колесом зацепляющуюся пару. При таком соединении на один оборот винта, называемого иногда червяком, колесо поворачивается на один свой шаг.

Если имеется ряд валов с насаженными на них наглухо последовательно зацепляющимися зубчатыми колесами, по одному колесу на каждом валу, то абсолютная величина отношения угловой скорости первого и последнего вала, сколько бы ни было промежуточных колес, будет та же самая, как если бы первое и последнее колесо зацеплялись между собой непосредственно. Если же желают изменить это отношение, как это требуется, например, при устройстве часов, то на 1-й вал насаживают колесо, сцепляющееся с маленьким колесом, называемым шестерней, насаженным на втором валу, на котором параллельно с шестерней насаживается колесо, сцепляющееся с шестерней 3-го вала, и так далее; наконец, колесо предпоследнего вала сцепляют с шестерней последнего вала. В таком М. отношение угловых скоростей первого и последнего валов выражается формулой:

ω ₁/ ω _n = (-1)^n-1(m₁ m₂ m₃...m_n)/(M₁ M₂ M₃...M_n-1)

где ω ₁ — угловая скорость первого вала, ω _n — угловая скорость последнего вала, n — число валов, M₁M₂M₃...— число зубцов колес, m₁m₂m₃...— число зубцов шестерен. Множитель (-1) ^n-1 стоит для того, чтобы показать, что при четном числе валов первый и последний вращаются в противоположные стороны, а при нечетном числе валов — в одну и ту же сторону. Если некоторые из валов в системе зубчатых колес подвижны, то такая система называется эпициклической. Эпициклические системы представляют чрезвычайно богатый материал для преобразования вращения. Так, например, при помощи такой системы, состоящей только из четырех колес почти одинакового размера, можно достигнуть такой передачи, при которой на 10000 оборотов некоторой части М. другая его часть делает только один оборот.

Особый, весьма богатый класс составляют М., состоящие из зубчатого колеса с острыми зубцами, круто скошенными в одну сторону и отлого в другую, и задерживающей собачки. Такие колеса называются храповыми. К этому классу относится, между прочим, соединение храпового колеса с якорем маятника в стенных часах и разные другие спуски. Не менее богатый класс представляют М. с кулаками. Примером такого рода М. может служить толчея, пест которой состоит из вертикально расположенного и способного иметь вертикальное движение бруска, оканчивающегося внизу тяжеловесной головкой; к этому бруску приделан сбоку выступ (кулак); подле песта помещается вращающийся вал с небольшим числом кулаков; при вращении вала кулак его подходит под кулак песта и поднимает пест на некоторую высоту, а затем, при дальнейшем вращении, кулак вала выскальзывает из-под кулака песта, и пест падает, производя удар, после чего он снова поднимается следующим кулаком вала, и так далее. Кроме твердых тел, звеньями М. могут быть и гибкие тела, как это мы видим в одном из распространеннейших М., служащих для передачи вращения, а именно в М., состоящем из двух шкивов с перекинутым через них ремнем. Такие шкивы вращаются в одну сторону, если ремень на них надет просто; если же ремень надет так, что он перекрещивается между шкивами, принимая форму восьмерки, то шкивы вращаются в противоположные стороны. Отношение угловых скоростей было бы обратно пропорционально радиусам шкивов, если бы не было скольжения ремня, которое изменяет это отношение процента на 2. Часть ремня, набегающая на шкив, должна идти так, чтобы средняя линия ремня находилась в одной плоскости со средним сечением шкива. Если это условие не соблюдается, то ремень соскочит; сбегающая же со шкива часть ремня может быть отведена значительно в сторону. Этим обстоятельством пользуются при устройстве передачи между шкивами, находящимися в разных плоскостях.

М., состоящие из твердых звенев, соединенных между собой только вращательными парами, называются шарнирными. Техника обогатилась весьма многими новыми шарнирными М., в особенности за последнее столетие, благодаря стремлению разрешить поставленную в прошлом столетии Ваттом задачу о превращении движения по дуге круга в движение прямолинейное. Ватт встретился с этой задачей, усовершенствуя паровую машину и желая соединить описывающий дугу конец коромысла с прямолинейно ходящей головкой поршневого штока, и решил ее изобретением своего знаменитого параллелограмма, ведущего точку по кривой, весьма мало отличающейся от прямой. Затем было изобретено множество М., решавших ту же задачу с большим еще приближением. Наконец, задача о приближенных прямилах получила окончательное завершение в удивительно простых и дающих весьма большое приближение прямилах Чебышева, одно из которых, может быть самое замечательное, состоит из шарнирного четырехсторонника, в котором звено, противоположное неподвижному, представляет собой прямоугольник с равными катетами; на концах одного из катетов находятся шарниры, которыми это звено связывается с боковыми звеньями четырехсторонника, конец же другого катета и описывает кривую, чрезвычайно мало отличающуюся от прямой; одно из боковых звеньев четырехсторонника, производя полные обороты (непрерывное вращение), приводит М. в движение (конечно, это звено надо вращать каким-либо двигателем). Таким образом, этот удивительный М., имея всего только три подвижных звена, с большим приближением преобразует в прямолинейное движение не колебание по дуге, но вращательное движение с произвольным числом полных оборотов. В шестидесятых годах французским инженером Посселье найдено было, наконец, и точное прямило. Затем точные прямила найдены были Липкиным, Гартом и Брикаром. Хотя эти точные прямила и не так практичны, как чебышевские, будучи сложнее их, и хотя теперь головка поршневого штока парой машины ведется обыкновенно просто салазками (поступательной парой), тем не менее открытие точного прямила составило эпоху главным образом потому, что механизмы Посселье, Липкина и Гарта основаны на устройстве такой принудительной цепи, в которой произведение расстояний двух подвижных точек М. от третьей точки остается постоянным, так что когда одно из этих расстояний увеличивается — другое уменьшается; такая кинематическая цепь называется инверсором, и при помощи ее может быть решено множество кинематических и даже чисто математических задач, как, например, механическое решение уравнений высших степеней, механическое деление угла на три равные части и проч. Инверсор Посселье состоит из ромба с шарнирами по углам и двух равных между собой, но более длинных, чем стороны ромба, стержней, которые скреплены шарниром между собой; каждый из стержней скреплен на другом своем конце с вершинами ромба шарниром; вершины ромба, скрепленные шарнирами с длинными стержнями, суть противоположные друг другу вершины; назовем две другие вершины свободными. Расстояния, произведение которых остается постоянным, суть расстояния шарнира, в котором длинные стержни скреплены между собой, от свободных вершин ромба. Если шарнир, связывающий между собой длинные стержни, сделать неподвижным и с помощью добавочного стержня, вращающегося около неподвижного центра, вести ближайшую к точке пересечения стержней свободную вершину ромба по окружности, проходящей через шарнир, связывающий длинные стержни, то другая свободная вершина ромба и опишет прямую. Сильвестер, Кемпе, Робертс, Дарбу, Бурместер и многие другие ученые изобрели и исследовали в последнее время множество весьма интересных шарнирных М., дающих замечательные преобразования траекторий. Шарнирными М. можно также передавать вращение даже с изменением числа оборотов, но такой способ передачи еще не вошел в практику, за исключением спарника, представляющего собой шарнирный параллелограмм, с помощью которого передается вращение без изменения угловой скорости от одной малой стороны параллелограмма к другой (см. Мертвые точки).

Жидкие тела также могут служить звеньями М. Примером такого М. может служить коленчатая трубка, наполненная жидкостью и снабженная в каждом колене поршнем, так как в такой системе определенному движению одного поршня будет соответствовать вполне определенное движение другого. Жидкость и прилегающие к ней стенки трубки составляют здесь кинематическую поступательную пару. Твердые звенья действуют друг на друга сопротивлением, благодаря своей твердости. Жидкие звенья, благодаря весьма малой сжимаемости жидкости, могут действовать на твердые звенья давлением; то же можно сказать и о газах. Ведь и твердые тела не абсолютно тверды, а представляют некоторую уступчивость. Поэтому Рёло рассматривает мельничное подливное колесо и действующую на него воду как высшую пару, аналогичную соединению зубчатого колеса с зубчатой линейкой (рейкой), осевую турбину и действующую на нее воду — как винтовую пару. Даже самые твердые части М. стираются трением друг о друга, а с другой стороны, например, обрабатываемая нитка передает в некоторых машинах движение от веретена к веретену. Поэтому и соединение орудия машины с обрабатываемым материалом (например, резец и обтачиваемый предмет) Рёло рассматривает как кинематическую пару, тем более что обрабатываемый предмет принимает форму огибающей различные относительные положения орудия. С такой точки зрения разница между машиной и М. является только в том, что на машину смотрят с динамической точки зрения, исследуя соотношения между работой двигателя и работой полезных и бесполезных сопротивлений, а на М. смотрят с точки зрения кинематической, исследуя соотношения между траекториями, скоростями и ускорениями.

Литературные указания: Reuleaux, "Der Konstrukteur"; его же, "Theoretische Kinematik"; Burmester, "Lehrbuch der Kinematik"; Grashof, "Theoretische Maschinenlehre"; Евневич, "Курс прикладной механики"; Вейсбах, "Практическая механика" (в переводе Усова); Weisbach, "Lehrbuch der lugenieur und Maschinenmechanik, bearbeitet von Herrmann"; Collignon, "Trai té de Mé canique"; Чебышев, "О простейшей суставчатой системе" ("Записки Императорской академии наук", приложение к LX тому) и многие другие статьи в "Записках Императорской академии наук"; Альбицкий, "Конические зубчатые колеса", "Цилиндрические зубчатые колеса", "Винтовое зацепление"; Гохман, "Теория зацеплений"; Kempe, "How to draw a straight line" ("The Nature", т. XVI). Литература шарнирных механизмов указана в статье Лигина "Liste des travaux sur les syst èmes articulé s" ("Bulletin Darboux", 2 сер., т. V II).