— при изучении астрономических явлений, при физических и химических опытах и других подобных случаях делают наблюдения, сопровождаемые измерениями пространственности, веса, времени, или же световыми и тепловыми. Никакое измерение не может иметь "математической" точности: разность между истинной величиной и той, которая получена измерением, зависит от достоинств употребляемых мерительных приборов, от уменья наилучше пользоваться ими, от полноты внимания, неизбежно утомляющегося с продолжительностью работы, от совершенства зрения и слуха наблюдателя и от свойственной ему быстроты восприятия впечатлений. В астрономии наблюдаются в зрительные трубы прохождения изображений светил (звезд) через изображение нитей (паутин), натянутых в окулярах зрительных труб, и определяется продолжительность перехода светила от одной нити к другой. Два наблюдателя при совершенно одинаковых обстоятельствах определят продолжительные прохождения одной и той же звезды числами секунд и долей их только близкими к равенству, но не вполне одинаковыми. От ощущения кажущегося закрытия звезды нитью (захода звезды за нить) до определения соответственного момента, указываемого хронометром, проходит малый промежуток времени, но размеры его малости неодинаковы для двух наблюдений, т. е. для двух различных организмов. Возникает необходимость определения так наз. личного уравнения каждого из наблюдателей, которое и находится при посредстве прибора с прохождением искусственных светлых точек, где моменты прохождения определяются механизмом прибора с полной точностью, к которой действительное наблюдение одного лица только подходит более близко, чем другого. Один и тот же прибор (напр. весы или микроскоп компаратора) при повторении одних и тех же измерений одним и тем же наблюдателем приведет его к числам не тождественным, что надо приписать нетождественности механических манипуляций и степени внимания наблюдателя во время этих повторений и нетождественности состояний прибора во время отдельных наблюдений. Опытный наблюдатель знает, что ни один прибор не может быть сделан "математически" точно, и поэтому изучает даваемые постоянные погрешности (напр. малая неточность в положении начала делений, от которого ведется счет), получая постоянные поправочные числа, или же пользуется методами наблюдений, которыми исключается погрешность прибора, зависящая от его положения и всякий раз трудно непосредственно находимая (напр. гнутие коромысла весов, или частей астрономических приборов). Совокупность всех обстоятельств и причин, в главном выше перечисленных, служит причиной разности между истинными величинами и теми, которые найдены при посредстве лучших мерительных приборов, управляемых наилучшими наблюдателями. Найденные числа, называемые для краткости наблюдениями, различаются между собой и в тех случаях, когда мы должны бы ожидать равенства между ними. Вообще говоря, причина количественной разности наблюденной величины от действительной и тем более величина этой разности в каждом частном случае навсегда остается неизвестной наблюдателю. Измеряя сколько угодно раз сумму углов треугольника, никогда не найдем ее вполне равной 180°, а в большинстве случаев нет даже и такого критерия для сравнения наблюденных величин с истинными. О. наблюдений, в силу высказанных причин, никогда не приводит к выводу истинной величины из наблюденных. Множество остроумных методов для исключения ошибок инструментов только в теории "математически" точны; таков напр. метод повторительного измерения угла разными частями одного и того же измерительного круга (повторительный круг Борды). Остаются лишь математические способы обработки наблюдений, ведущие, конечно, только к нахождению величин, наиболее близких к истинным. Арифметическая средняя величина из наблюденных, отыскание вероятной ошибки по способу наименьших квадратов, определение "веса" вывода, интерполирование для отыскания величины, заключающейся в промежутках между наблюденными, но не наблюденной непосредственно — вот в сущности математические приемы, которыми пользуются при О. наблюдений (см. Вероятная ошибка, Вес вывода, Интерполирование, Наименьшие квадраты). Для увеличения же точности самих наблюдений необходимо пользоваться всеми известными средствами для исключения ошибок, проистекающих от самих приборов.

Кроме случайных ошибок наблюдений, влияние которых может быть уменьшено посредством целесообразных вычислений (см. выше), если только наблюдения повторялись достаточное число раз, на результаты влияют еще так наз. "систематические" погрешности, не исключаемые посредством такого приема, но зависящие от свойства применяемых приборов и методов. Этого рода погрешности составляют существенную особенность экспериментального исследования истины: их устранить невозможно. Действительно, отыскивая истину путем отвлеченного мышления, мы получаем логически правильные заключeния из взятых в основание положений, выбор же этих положений зависит от нашего произвола. Обратное происходит, когда применяют наблюдательный метод исследования: здесь объект исследования обыкновенно имеет реальное существование, но численные соотношения между величинами, определяющими предмет наблюдения, находимые путем опыта, необходимо отличаются от истинных вследствие прирожденного несовершенства наших чувств. Мы отделены от природы одной лишь способностью судить о совпадении или о равенстве, т. е. об отсутствии различия между сравниваемыми предметами. Убеждаемся в этом совпадении мы обыкновенно с помощью зрения, иногда с помощью осязания. Небольшое число методов основано и на наблюдении отсутствия явления, напр.: на исчезании света, на прекращении звука или на покое указателя прибора.

Непосредственно судить о численном соотношении величин мы с точностью не можем: при навыке можно лишь приблизительно подразделять расстояния двух смежных черт шкалы на десятые части и точно разделять их пополам, т. е. в сущности судить о равенстве расстояний указателя от обеих ближайших черт. Все заключения о пропорциональности измеряемых величин делаются на основании более или менее сложного устройства измерительных приборов и рассуждений, подобных тем, которыми доходят в начальной геометрии до сравнения длины прямых. По одному этому — числа, получаемые из опыта, не могут быть абсолютно точными: пользуясь более совершенными способами наблюдения, мы можем всегда заметить несовпадение или существование явления там, где прежде его не замечали, а это поведет за собой изменение установки прибора, несколько иной отсчет по шкале и новое окончательное число. К этому присоединяется еще другая не менее важная причина чисто логического характера: по ограниченности нашего ума мы обыкновенно принимаем во внимание при определении зависимости измеряемой величины от показаний измерительного прибора не все обстоятельства, в действительности на него влияющие. В самом деле, целью измерительных опытов бывает обыкновенно или нахождение закона исследуемого явления, т. е. выраженной математическим языком зависимости между обстоятельствами этого явления, или обратно, нахождение именованного числа, выражающего свойство исследуемого тела или интенсивность происходящего явления, на основании уже известного закона. Для этого приходится как бы создавать свой собственный мирок: заключать, что при действии таких-то и таких причин, при таких-то обстоятельствах должно произойти то-то и что это самое происходит и в мире действительном, когда мы производим свой опыт. Исследователь бывает обыкновенно абсолютно прав в первой половине своего умозаключения, но весьма редко и вторая половина бывает вполне согласна с истиной. На деле обыкновенно заведомо действуют еще и другие причины, влияние которых мы только уменьшаем, а устранить вполне не можем, и даже случается, что их присутствие мы вовсе не замечаем. Однако искусство правильно производить и "интерпретировать" опыты достигло в настоящее время такой степени совершенства, что осмотрительный экспериментатор может дать себе отчет в степени точности своих измерений, может сказать, какую часть измеряемой величины не превзойдут ошибки, производимые всеми посторонними влияниями во время его опытов. Искусство это создалось лишь недавно, науке древних оно было вполне чуждо. Так, Аристотель в своей Физике, заключив, например, из отвлеченных умозаключений, что воздух должен обладать весом, говорит, что и в действительности мех, надутый воздухом, весит больше, чем развязанный и сплющенный. Во время Аристотеля так наз. "закон Архимеда" (см. Гидростатика) не был еще известен, и поэтому не мог быть принят во внимание. С другой стороны, весы во времена Аристотеля были еще столь грубой конструкции, что едва ли могли показать небольшое приращение веса меха; действительно, комментатор Аристотеля, Симплиций, пишет, что он повторял этот опыт, и никакого возрастания веса не заметил. Вес единицы объема воздуха при условиях наблюдения нужно бывает знать при вычислении результатов очень многих опытов; для определения этого веса берут стеклянный сосуд с краном, вместимость которого определена взвешиванием воды, наполняющей его при определенной температуре. При открытом кране внутри и снаружи будет воздух при одинаковых условиях и весы покажут вес сосуда без веса вытесненного его станками воздуха; когда же воздух внутри сосуда разрежен и кран закрыт, к весу сосуда прибавится вес оставшегося в нем воздуха, а вычтется вес атмосферного воздуха, вытесненного как стенками, так и внутренним объемом этого сосуда. Веса эти будут зависеть от температуры, барометрического давления, влажности воздуха, содержания в нем углекислоты и других примесей; все эти влияния или принимаются во внимание, или компенсируются приемами весьма сложными, но за всем тем остаются многие влияния, которые ни исключить вполне, ни ввести в вычисления нельзя, например — гигроскопичность поверхности стекла, способной сгущать большее или меньшее количество влаги, смотря по влажности, температуре и давлению окружающего воздуха, и лишь весьма медленно изменяющей это количество, когда внешние условия меняются. Даже сама тяжесть воздуха не остается без влияния: внутри шара она производит большую плотность его низших слоев, по сравнению с высшими, подобно тому как и в атмосфере, только в чрезвычайно уменьшенном масштабе, тогда как в вычисление вводится одна средняя плотность всего воздуха. Этого рода соображения и придают вес современным опытным измерениям: хотя мы заведомо делаем разного рода допущения, не согласные с истиной, но знаем не больше чего будет влияние этих допущений на результат. Абсолютно точные экспериментальные данные были бы для нас почти вполне бесполезны: в природе все непрерывно изменяется и абсолютно точное измерение можно было бы отнести лишь к тому предмету и тому моменту, когда оно было произведено. На деле, измерения, производимые в наших лабораториях ежедневно для утилитарных целей, производятся с точностью не большей чем до одного процента; большей точности обыкновенно не требуется вследствие переменчивости самих измеряемых величин или неоднородности состава и строения исследуемого материала. Измерения, делаемые потщательнее, без большого труда могут быть доведены до точности в десятые доли процента, т. е. до 0,001 измеряемой величины. До точности большей доходят лишь в отделъных случаях измерения величин очень постоянных по своему существу: так, удельный вес может быть определен с ошибками лишь в пятой десятичной, хотя уд. веса продажных материалов разного происхождения изменяются уже во второй десятичной. Наибольшей же точности достигают при сравнении нормальных килограммов: О. при этом может быть не больше 0,00000001 измеряемой величины, т. е. не больше 0,01 мг, а это приблизительно вес кружка из тонкой папиросной бумаги диаметром как обыкновенная иголка.