— приспособления для измерения поверхности начерченной на бумаге фигуры. Для облегчения приблизительного определения числа десятин в участке, начерченном на плане в определенном масштабе, может служить "палетка Хогреве": прозрачный роговой или стеклянный листок, разграфленный на прямоугольники, изображающие десятину в этом масштабе и подразделенные на квадратики, соответствующие 100 кв. с. Наложив такую палетку на план, сосчитывают число полевых десятин в измеряемом участке, а около окружности его сосчитывают маленькие квадратики, дополняя их части на глаз. Немного рациональнее "П. Ольдендорпа": это — рамка с тонкими нитями, натянутыми параллельно на равных расстояниях, выбранных сообразно масштабу плана. Наложив такую нить на очертание измеряемого участка на плане, мы разобьем его на трапеции и треугольники, поверхность которых можно вычислить, если измерить циркулем стороны трапеций вдоль нитей. Гораздо удобнее "полярный П. Амслера", дающий поверхность замкнутого контура механически и с довольно большою точностью. Он состоит из двух металлических линеек, соединенных очень удобоподвижным шарниром; на свободном конце первой укреплена игла, втыкаемая в доску, на которой растянут чертеж, а на конце второй укреплено острие, обходящее контур измеряемой поверхности. Другой конец второй линейки продолжается несколько дальше шарнира, и на этой части снизу укреплено очень удобоподвижное стальное колеско на оси, направленной вдоль линейки. Колеско это свободно катится по бумаге, и особый счетчик позволяет определять число его полных оборотов и частей оборота. Первая линейка и игла служат только для того, чтобы вести точку вращения шарнира второй во все время работы по окружности одного и того же круга; свободный же конец второй линейки обходит при этом контур измеряемой поверхности, а сама линейка меняет и свое направление, и свое положение на плоскости. Всякое перемещение прямой линии из одного положения в другое можно рассматривать, как будто линия эта сначала переместилась параллельно самой себе, а потом уже повернулась около своей конечной точки на определенный угол. Оказалось, что колеско повернется при параллельном перемещении линейки ровно на столько, на сколько оно повернулось бы, если бы катилось по кратчайшему расстоянию между конечными положениями линейки; составляющая скольжения, направленная вдоль оси вращения, не влияет вовсе на число его оборотов. Так как длина линейки от шарнира до острия постоянна, то число оборотов этих пропорционально поверхности, пройденной линейкою по поверхности бумаги при этом параллельном передвижении. Число оборотов колеса во время поворота линейки выражается формулой посложнее, но оно зависит лишь от угла поворота и от размеров прибора; знак свой оно меняет с изменением направления углового движения. Когда контур замкнутый и точка вращения лежит вдоль его, линейка поворачивается сначала в одну сторону, а потом на тот же угол назад, когда острие возвратится в начальную точку контура, и обе линейки вновь придут в свое начальное положение. Поэтому-то и оказывается, что поверхность измеряемой замкнутой кривой будет пропорциональна числу оборотов колеска во время обхода контура острием. Коэффициент пропорциональности зависит от размеров частей прибора и той единицы, в которой хотят измерять поверхность, и определяется обыкновенно опытом. П. Амслера очень удобен и часто употребляется, но требует осторожного обращения. Г. Шау заменил колеско тяжелым шаром, катящимся по бумаге, измерительное колеско, в свою очередь, катится уже по поверхности этого шара, достаточно высоко от бумаги, чтобы можно было отсчитывать его числа оборотов на достаточно большом циферблате. Очень оригинальный и простой П. придуман недавно датским капитаном Притцем и назван П.-топорик, потому что он состоит из скобы, согнутой из толстой стальной проволоки, один конец которой заострен, а другой сплющен и снабжен округлым лезвием, наподобие топора. Прибор держат вертикально, за острие, и обводят им контур измеряемой поверхности, оставляя лезвие топорика свободно скользить по бумаге. Острие должно быть расположено на одной прямой с касательной к лезвию топорика в месте его соприкосновения с бумагой. Вначале прижимают топорик, чтобы он оставил след на бумаге, врезываясь слегка в бумагу; он опишет во время движения острия по контуру род "погонной линии", определяемой тем, что касательная в каждый момент движения направлена через догоняемую точку и что расстояние обеих точек постоянно (равно 25 стм в П.-топорике Притца). Когда острие вернется в начальную точку, снова нажимают на топорик, расстояние между серединами полученных черточек, будучи помножено на расстояние между острием и серединою лезвия топорика, даст искомую поверхность в той мере, в какой измерены обе прямые. Математическая теория П.-топорика, данная F. H. Hill (в "Phil. Mag.", 1894), показала, что вообще это произведение выражается бесконечным рядом быстро убывающих членов; первый из них выражает поверхность контура, следующий по величине — пропорционален ее моменту инерции, но он помножен на малый коэффициент, когда размеры контура невелики по сравнению с длиною П. Момент инерции бывает наименьшим для центра тяжести фигуры, поэтому надо начинать движение из этой точки. При пробах П.-топорик дает довольно удовлетворительные результаты: ошибки в ±1—2%. Ср. курсы геодезии, например "Низшая геодезия" Н. Богуславского (1897), А. Бика (М., 1896), Н. Смирнова (1876); также фон Бооль, "Инстр. геометрического черчения" (М. 1893).