(величины). — Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 — 5 + 2 = 10 +2 — 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились число вместе со знаком считать за одно целое и назыв. число со знаком (+) — П., а число со знаком (—) — отрицательным. В нашем примере +2 П. число, а —5 отрицательное число. Многочлен рассматривают как сумму его членов, и след., 10 — 5 + 2 = (+10) + (—5) + (+2). Вообще а + (+b) = а + b, а + (—b) = а — b. Знак + перед первым членом обыкновенно подразумевается. В курсах начальной алгебры устанавливаются действия над П. и отрицательными числами, и потому ограничимся здесь немногими словами. При помощи отрицательных чисел вычитание всегда выполнимо, напр. 3 — 8 = —5, так как 8 + (—5) = 3; алгебраические преобразования приобретают общность, напр. формула a — b + с = α — (b — с) справедлива при b больше с и при b меньше с.

Предположим, что по известным данным требуется определить: доход от какого-нибудь предприятия, расстояние искомой точки на прямой от данной точки, через сколько лет наступит ожидаемое событие и т. п. При решении такой задачи может получиться в ответе отрицательное число. Если же изменить задачу и искать величину убытка от предприятия, расстояние по другую сторону от данной точки, число лет, прошедших после некоторого события, и т. п., то в ответе получается в этом случае число П. Поэтому отрицательному решению придают смысл, противоположный решению положительному. Во многих геометрических вопросах ищется соотношение между отрезками прямой и углами. Отрезок прямой выражается числом при помощи некоторого отрезка, принятого за единицу. Число, выражающее угол, есть длина дуги круга, описанной около вершины угла радиусом, равным единице. Обозначив данные отрезки и углы буквами, находят при помощи геометрических соображений искомое соотношение между ними. Полученный результат справедлив для положительных значений букв и для данного расположения чертежа. Если же буквам придавать значения отрицательные, то получится другое соотношение между числами, выражающими отрезки и углы, иначе расположенные. Сказанное поясняется на след. примере. Предположим, что отрезок MN длиною r проектируется на прямую Ml, при чем проектирующая прямая МР образует с Ml угол θ. Если угол между направлениями MN и Ml равен α, то для отрезка МР — проекции MN на Ml — получается формула

α = [rsin(θ—α)]/Sinθ ...(1)

Здесь угол α предполагается меньшим угла θ. Представим себе, что отрезок MN вращается и точка N принимает положение N₁,N₂ и N₃, причем угол (MN₁, Ml) = α₁ ... π > α₁ > θ; угол (MN₂, Ml) = 2π — α_2, π > α₂ > (π—θ); угол (ΜΝ₃, Μl) = 2π — α₃, α₃ < (π—θ). Если ввести обозначения

проекция ΜΝ₁ на Ml = a₁

проекция MN₂ на Ml = a₂

проекция MN₃ на Ml = a₃

то получим следующие формулы:

α₁ = rSin(α₁ — θ)/Sin θ...(2)

α₂ = rSin(α₂ — π + θ)/Sin θ...(3)

α₃ = rSin(π — α₃ — θ)/Sin θ...(4)

Во всех этих формулах входят числа П. Если же ввести отрицательные числа, то достаточно одной из этих формул, напр. форм. (1). Действительно, полагая в формуле (1)

a = -α₁, α = α₁

a = -α₂, α = -α₂

α = α₃, α = -α₃

получим формулы (2), (3) и (4).

Множество примеров подобного рода представляется в аналитической геометрии. Там получаются формулы, справедливые для всякого чертежа благодаря тому, что буквам придаются значения П. и отрицательные.