[ начало ] [ С ]

Симметрические функции

— Функция от n переменных х 1, x2,..., х n наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x12x2 + x12x3 + х 22x1 + x22x3 + x32x1+ x32x2 есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х 1, x2 и x 3. Эта функция вполне определяется одним членом х 12x2 и потому для краткости обозначается через Σ x12x2. Подобным же образом С. функции от x1, x2, x3 и х 4

Σ x12x22 = x12x22 + x12x32 + x12x42 + x22x32 + x22x42 + x32x42.

С. функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть

Σ x1 = с 1, Σ x1x2 = c2, Σ x1x2x3 = c3,... , х 1x2...xn = с n.

Здесь введены буквы c1, c2,..., с n для обозначения этих функций.

Если x1, x2,..., xn корни уравнения f(x) = xn + p1xn—1 + p2xn—2 +... + pn—1x + Pn = 0, то

c1 = —p1, c2 = p2, c3 = —p3,..., cn =(1)npn.

Всякая целая С. функция от x1, x2,..., х n есть целая функция от с 1, c2,..., с n.

Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. Sm = Σ x1m служат следующие формулы Ньютона

s1 — с 1 = 0

s2 — c1s1 + 2 с 2 =0

s3 — c1s2 + c2s13c3 = 0

sn — с 1sn—1 + c2sn—2 —... + (1)nncn = 0

sn+k — c1sn+k—1 + c2sn+k—2 —..... + (1)ncnsk = 0.

Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы

Σ x1 α x2 α = 1/2[(s α)2 — s2 α ]

Σ x1 α x2 β = s α s β — s α + β , α не = β

Σ x1 α x2 α x3 α = 1/6[s α 33s2 α s α + 2s3 α ]

Σ x1 α x2 α x3 β = 1/2(s α 2s β — s2 α s β 2s α + β s α + 2s2 α + β

Σ x1 β x2 β x3 γ = s α s β s γ — s α + β s γ — s α + γ s β — s β + γ s α + 2s α + β + γ .

Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.

Д. С.


Page was updated:Tuesday, 11-Sep-2012 18:16:30 MSK