— Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a—b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0 (mod n) значит найти, какое число надо подставить вместо x для того, чтобы удовлетворить С. Если f(a) делится на n, то данному С. удовлетворяют и все числа сравнимые с a по модулю n. Условились, совокупность всех таких чисел называть одним решением данного С. Говорят, что f(x) ? ≡ 0 (mod n) имеет m решений, если ему удовлетворяют m чисел несравнимых между собой по модулю п.

Перечислим несколько теорем, относящихся к С.

С. первой степени ax ≡ b (mod n) возможно, если b делится на d, наибольшего делителя чисел a и b, и имеет d решений. Если n простое число и a не делится на n, то

a^n—1 ≡ 1 (mod n) (теорема Фермата).

Если n простое число, то

1.2.3...(n—1) ≡ —1 (mod n);

если же n — составное, то 1.2.3...(n— 1)+1 не делится на n (теорема Вильсона). С. второй степени x² ≡ q (mod p) при простом модуле возможно и имеет два решения, если q^(p—1)/2 ≡ 1 (mod p); С. невозможно, если q^(p—1)/2 ≡ —1 (mod p).

Эти два случая различаются при помощи особого вычисления, предложенного Лежандром и усовершенствованного Якоби. Вычисление выполняется очень быстро даже для больших значений p и q.

С. m -ой степени при простом модуле не может иметь более m решений (теорема Лагранжа).

С. x^m ≡ q (mod p) при простом модуле возможно и имеет d решений, если q^(p—1)/d ≡ 1 (mod p). Здесь d наибольший делитель чисел m и p—1.

Для всякого простого числа p существует такое число g, называемое его первообразным корнем, что числа g, g², g³...g^p—1 несравнимы между собой по модулю р.

Если g^a ≡ а (mod p), то a называется указателем (index) числа a при основании g. Это обозначают так: a = ind a, причем основание подразумевается.

В "Теории С." П. Л. Чебышева приложена таблица указателей для всех простых чисел меньших 200. В сочинении C. G. J. Jacobi, "Canon Arithmeticus", эти таблицы доведены до 1000.

При помощи указателей решаются С. на основании теоремы:

ind (a b) ≡ ind a + ind b (mod p—1)

напоминающей свойства логарифмов.

Важнейшие сочинения, относящиеся к теории С.: Gauss, "Disquisitiones arithmeticae" (Лейпциг, 1801, "Gauss Werke", т. I; это сочинение издано в Берлине в 1889 г. в переводе на немецкий язык); Serret, "Cours d'alg èbre supé rieure" (т. II, секц. III, П., 1879); Dedekind, "Vorlesungen über Zahlentheorie vo n Lejeune-Dirichlet" (Брауншвейг, 1894; в 1899 г. в СПб. появился первый выпуск этого сочинения в переводе на русский язык); П. Л. Чебышев, "Теория С." (СПб., 1849; 2-е изд., СПб., 1879); Ю. В. Сохоцкий, "Высшая алгебра" (ч. II-я, СПб., 1888).