(Courbes tautochrones). — В статье Маятник (см.) было упомянуто, что продолжительность качаний циклоидального маятника не зависит от величины амплитуды размаха. Подобным же образом не зависит от величины амплитуды продолжительность колебания точки при простом гармоническом движении (см). В этих случаях материальная точка, вышедшая из какого-либо начального положения без начальной скорости, подвергаясь действию приложенных к ней сил, приходит в положение равновесия в течение промежутка времени, не зависящего от величины пробегаемого ею расстояния. Такая независимость промежутка времени от величины пробегаемого расстояния называется таутохронизмом. Кривые, удовлетворяющие этому свойству при данных силах, действующих на материальную точку, остающуюся на кривой, называются таутохронами. По почину Гюйгенса, показавшего, что циклоида есть Т. для силы тяжести, Ньютон, а после Эйлер занимались вопросами о нахождении Т. при разных силах. Лагранж дал общее выражение для сил, при которых имеет место таутохронизм. Результаты исследований по таутохронизму геометров XVIII стол, и известных математиков XIX стол. (Бертрана, Puiseux, Сомова, Бриосхи и др.) можно охарактеризовать нижеследующим образом. Материальная точка, остающаяся на некоторой прямой или кривой линии, находящаяся под влиянием данных сил, выходит из состояния покоя где-либо на кривой и приходит в некоторую определенную точку О кривой по истечении некоторого промежутка времени. Если величина этого промежутка не зависит от того, где находилось начальное положение ее на кривой, то движение это будет таутохронным. 1) Если сила, приложенная к точке, зависит только от положения точки на кривой, но не от скорости ее, то для того, чтобы кривая была таутохронною, необходимо, чтобы проекция силы на направление скорости выражалась так: (— k²s), где s есть расстояние движущейся точки от точки О кривой. Этому условию действительно удовлетворяет сила тяжести при движении точки по циклоиде с горизонтальным основанием и вершиною, опущенною вниз, и также удовлетворяют случаи гармонических прямолинейных движений под влиянием притяжений, пропорциональных расстояниям. При центральных силах, величины которых суть функции расстояния точки от центра, необходимо, чтобы потенциальная функция этой силы на протяжении Т. выражалась бы так: [—(k²/2) s² + c]. В частности, для сил, пропорциональных расстояниям, Т. суть эпициклоиды или спирали. 2) Общих способов для нахождения Т. при действии на точку данных сил, зависящих от положения, и сопротивлений, зависящих от скорости, не найдено. Известно только следующее. Данная кривая будет Т., если можно выразить проекцию сил на направление скорости формулою Лагранжа:

(ds/dt)²[f'(s)/f(s)] + (ds/dt)F[(1/f(s)x(ds/dt))]

исправленною и дополненною Бертраном; здесь f и F суть какие-либо функции, первая от s, вторая от выражения, стоящего в кв. скобках. При надлежащем выборе этих функций получаются отсюда и случаи, когда сопротивление пропорционально первой степени скорости, и случаи, когда оно пропорционально квадрату скорости. Эйлер и Иоанн Бернулли нашли, что на прямой или кривой линии таутохронизм имеет место, если сила вдоль кривой выражается так:

2k²v² + (2h²/k²)(1 — eⁿ),

где n = е ^kks, a v означает скорость. Наконец, известно, еще с конца XVIII в., что циклоида есть Т. для силы тяжести не только при идеальной гладкости кривой, но даже при существовании трения.