— есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий. Приведем пример. Вероятность вынуть туза из полной колоды карт равна 4/52, или 1/13, так как всего карт 52 и из них 4 туза; вероятность вынуть короля тоже равна 1/13. Вероятность вынуть туза или короля будет 1/13+1/13 = 2/13. Рассматриваемые события несовместны, так как появление одного из событий исключает появление другого. Вероятность вынуть туза или трефовую карту не равна 1/13 + 1/4, так как вынутый туз мог бы оказаться трефовой масти. В этом случае события нельзя назвать несовместными и потому нельзя прилагать высказанной теоремы, вероятность появления событий Е и F равна вероятности Е, умноженной на вероятность F, вычисленную в том предположении, что Е случилось. Например, вероятность вынуть два туза из полной колоды карт равна (4/52)∙(3/51), так как после появления туза в колоде останется 51 карта и в том числе 3 туза. Если же вынимать карты последовательно и вынутую карту возвратить в колоду, то вероятность вынуть 2 туза равна (4/52) ². Предположим, что при повторении испытаний вероятность появиться событию Е постоянно остается равною р. В таком случае вероятность того, что при п испытаниях событие Е появится т раз, будет

1.2.3...n

1.2.3...(n — m)^k(1 — p)^n—m , где k = p^m.

Если п и т очень велики, то Лаплас доказал, что интеграл есть приближенное выражение вероятности того, что т заключается между и . Отсюда легко выводится следующая теорема Якова Бернулли. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что при достаточно большом п численное значениe разности (m/n — р) сколь угодно мало. Предположим, что вероятность события Е меняется при каждом испытании и что при n испытаниях эта вероятность принимала значения p₁, p₂,... р_п. Если т обозначает число появлений события Е при п испытаниях, то при достаточно большом п имеет место теорема Пуассона. С вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что численное значение разности m/n = (p₁+p₂+...+p_n)/n сколь угодно мало.

Если величина х может принимать значения x₁, x₂,...x _п , вероятности которых суть p₁, p₂,... р_п, то число x₁p₁+x₂p₂+...+x_np_n называется математическим ожиданием величины х.

Если а, b, с,...k математические ожидания независимых величин x, y, z,... и, а а ₁, b₁, c₁,...k₁ математические ожидания квадратов этих величин, то с вероятностью большей чем 1 —1/t² можно утверждать, что x+y+ z+...+u принимает значение, лежащее между

В этом состоит теорема Чебышева.

В случае большого числа величин х, у, z,...u Лаплас доказал, что интеграл есть приближенное выражение вероятности того, что x+y+z+...+u принимает значение, лежащее между

Предположим, что а, b, с,...k больше некоторого положительного числа А, а каждое из чисел a₁, b₁, с ₁...k₁ не превышает числа B. Если n, число величин х, y, z,... u, может быть сколько угодно велико, то с вероятностью, сколь угодно близкою к достоверности, можно утверждать, что сумма х+у +z+...+u превзойдет любое данное число. На основании этой теоремы определяется выгодность или убыточность предприятия. Если математическое ожидание прибыли от какого-нибудь предприятия число положительное, то такое предприятие выгодное. Хотя и возможны убытки, но с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности, прибыль будет сколь угодно велика, если продолжать участие в предприятии.

Литература. В. Я. Буняковский, "Основания математической теории вероятностей" (СПб., 1846); В. П. Ермаков, "Teopия вероятностей" (Киев, 1879); П. А Некрасов, "Teopия вероятностей" (М., 1896); Н. А. Забудский, "Теория вероятностей и применение ее к стрельбе и пристрелке" (СПб., 1898); М. А. Тихомандрицкий, "Курс теории вероятностей" (Харьков, 1898); А. А. Марков, "Исчисление вероятностей" (СПб. 1900); Laplace, "Th éorie analytique des probabilité s" (П., 1820); Poisson, "Recherches sur la probabilit é des jugements en matière criminelle et en matiè re civile" (П., 1837); Poisson, "Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung und deren wichtigsten Anwendungen" (нем. перев. Schnuse, Брауншвейг, 1841); Lacroix, "Trait é élémentaire du calcul des probabilité s" (4-е изд. Пар., 1864); Todhunter, "A history of the mathematical theory of probability..." (Кембридж и Лонд., 1865); Lauren t, "Traité du calcul des probabilité s" (П., 1873); A. Meyer, "Calcul des probabilit é s" (Льеж, 1874); Liagre, "Calcul des probabilit é s" (Брюссель, 1879); Hagen, "Grundz ü ge der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Б., 1882); J. Bertrand, "Calcul des probabilit és" (П., 1889); Bobek, "Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Штутгарт, 1891); P. Poincare, "Calcul des probabilit é s" (П., 1896); Jakob Bernoulli, "Ars conjectandi" (1713; нем. перев., Haussner, Лпц., 1899); Ostwald's "Klassiker der exacten Wissenschaften" №№ 107 и 108.