(мат.). — Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0В, то получим угол АОВ (черт. 1).

Черт. 1.

Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0В сторонами угла.

Предположим, что даны два угла ΒΟΑ и Β ₁ Ο ₁ Α ₁. Наложим их так, чтобы вершины О и 0₁ совпали и чтобы сторона O₁A₁ совпала со стороной ОА. Если при этом сторона О₁В₁ совпадет со стороной 0В, то говорят, что углы ΒΟΑ и В₁О₁А₁ равны.

Черт. 2.

Если сторона О₁В₁ пойдет внутри угла BOA (черт. 2), то угол АОВ больше угла В₁О₁А₁. Если же чертеж имеет вид (черт. 3), то угол АОВ меньше угла А₁О₁В₁.

Черт. 3.

Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, наз. прилежащими, таковы, напр., углы АОВ и BOC (черт. 4).

Черт. 4.

Стороны ОА и ОС наз. внешними сторонами прилежащих углов.

Смежными углами наз. такие прилежащие углы, внешние стороны которых составляют одну прямую (черт. 5).

Черт. 5.

Угол наз. прямым, если он равен углу смежному из ним (черт. 6).

Говорят, что прямая ОВ (черт. 6) перпендикулярна к прямой СА, если она образует равные смежные углы АОВ и СОВ.

Черт. 6.

Все прямые углы равны между собой. Угол больший прямого наз. тупым, а меньший прямого — острым. Если построим два прилежащих угла так, чтобы один из них равнялся углу АОВ, а другой углу А₁О₁В₁, то внешние стороны этих прилежащих углов образуют угол равный сумме углов АОВ и Α ₁ Ο ₁ Β ₁.

Сумма смежных углов равна двум прямым.

Если из точки О на плоскости проведем несколько лучей, напр. ОА, ОВ, ОС, OD и OE (черт. 7), то получим углы ВОА, ВОС, COD, DOE и ЕОА, сумма которых равна четырем прямым.

Черт. 7.

Две пересекающиеся прямые AB и CD (черт. 8) образуют четыре угла a, b, с, d.

Черт. 8.

Из них а и b смежные; углы же а и d или же b и с наз. вертикальными. Существуют равенства:

а = d и b = с.

Черт. 9.

Углы, образованные двумя прямыми AB и CD при пересечении третьей прямою EF (черт. 9) имеют особые названия.

Tакие углы, как а и е, называются соответственными

Tакие углы, как с и f, называются внутренними накрест лежащими

Tакие углы, как a и h, называются внешними накрест лежащими

Tакие углы, как c и e, называются внутренними односторонними

Tакие углы, как a и g, называются внешними односторонними.

Для того чтобы прямые AB и CD были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место одно из равенств вида

a = е, с = f, a = h, с + е = двум прямым, а + g = двум прямым.

Представим себе круг, в центре которого О находится вершина угла. Если стороны угла проходит через точки А и B, лежащие на окружности, то угол А ОВ измеряется дугою AB. Мерою угла служит отвлеченное число, равное отношению дуги AB к радиусу круга. Угол выражают также в градусах. Если, напр., угол АОВ содержит один градус, то это значит, что дуга AB составляет одну 360-ую часть окружности.

Угол, вершина которого находится в центре круга, наз. центральным. Если же вершина угла находится на окружности в точке А, а стороны проходят через точки В и С, лежащие на окружности, то угол ВАС называется вписанным. Этот угол измеряется половиною дуги ВС. Если же вершина угла находится вне круга, а стороны AB и АС касаются круга в точках В и С, то угол называется описанным. Он измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Две прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны. В пространстве прямые могут не пересекаться и в то же время не быть параллельными. Предположим, что прямые а и b не пересекаются и не параллельны. Углом между этими прямыми назыв. тот угол, который получим, проведя из какой-нибудь точки пространства О прямые ОА и ОВ, параллельные прямым а и b.

Предположим, что прямая AB пересекает плоскость P в точке А (черт. 10).

Черт. 10.

Если окажется, что две прямые АС и AD, проведенные на плоскости P через точку А, перпендикулярны к AB, то и всякая прямая АЕ, находящаяся в плоскости Р, будет перпендикулярна к AB. В этом случае говорят, что прямая AB перпендикулярна к плоскости Р.

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей назыв. ребром двугранного угла; плоскости, образующие угол, назыв. сторонами угла.

Предположим, что плоскости АР и BQ пересекаются по прямой AB (черт. 11).

Черт. 11.

Возьмем на ребре AB какую-нибудь точку С и проведем в плоскостях АР и BQ прямые CD и СЕ, перпендикулярные к AB. Получим угол ECD, который назыв. линейным углом двугранного угла QABP.

Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным У. Если угол ECD (черт. 11) прямой, то и двугранный У. прямой. В этом случае говорят, что плоскость АР перпендикулярна к плоскости BQ.

Если прямая AB перпендикулярна к плоскости P (черт. 10), то всякая плоскость, проходящая через AB, будет перпендикулярна к плоскости Р.

Предположим, что дана плоскость P и прямая AB (черт. 12).

Черт. 12.

Проведем через AB плоскость, перпендикулярную к Р. Пусть эти плоскости пересекаются по прямой CD. Углом прямой AB с плоскостью P назыв. угол, образованный прямыми AB и CD.

Несколько плоскостей, проходящих через точку О и пересекающихся по прямым О А, 0В, ОС, OD и ОЕ, образуют многогранный угол, точка О назыв. вершиной, плоскости BOA, COB, DOC, EOD и ЕОА — гранями, прямые ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ — ребрами, углы BOA, COB, DOC, EOD и ЕОА — плоскими углами многогранного угла.

Многогранный угол назыв. выпуклым, если он весь расположен по одну сторону каждой из его граней.

В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4-х прямых.