— так называлась со времен Кеплера совокупность сведений и теорий о строении и действительном движении в пространстве небесных светил в противоположность сферической астрономии, изучающей видимое для нас положение светил на фиктивной небесной сфере независимо от их действительных расстояний. Когда сложилась механика как наука о движении тел под действием некоторых сил, Ф. астрономия стала механикой неба. Затем от нее отделилась теоретическая астрономия, дающая методы определять движение светил геометрически из наблюдений, произведенных с Земли. Теперь название Ф. астрономия заменяется термином небесная механика, тогда как выражение физика неба, или астрофизика, стало прилагаться к совершенно иным, чрезвычайно развившимся отделам астрономии, рассматривающим яркость, температуру, состав атмосфер, вид поверхности светил (ср. Спектроскопия, Фотометрия, Фотография неба). Ниже указаны главнейшие приемы небесной механики исследования поступательного движения светил; о вращательном движении — см. Широта; о строении — см. Фигура Земли. Допуская закон Ньютона, по которому каждые две частицы материи взаимно притягиваются прямо пропорционально их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния, небесная механика не занимается вопросом о сущности этих сил. Закон Ньютона (см. Тяготение) необходимо понимать как математический принцип, как сокращенное выражение, к которому удалось свести всю совокупность движений небесных тел. При условии почти полной шарообразности светил, а также громадных расстояний между ними их взаимные притяжения можно заменить силами, приложенными к их центрам, и свести систему тел к системе материальных точек, снабженных каждая конечной массой. Изучая движение солнечной системы в ее целом, можно даже одной точкой заменить Юпитера с его спутниками, другой — Землю вместе с Луной и т. д.; затем в каждой такой системе второго порядка придется рассмотреть относительные движения составляющих ее тел. Если положения в пространстве системы n точек выразим в каких-либо координатах (напр. Декартовых), то из основных понятий механики получим для n точек 3 n дифференциальных второго порядка уравнений движения, для которых требуется найти 6п интегралов. Известны лишь 10 интегралов, именно — шесть интегралов, выражающих закон движения центра инерции системы; три интеграла, выражающих закон равномерного возрастания суммы площадей, описываемых радиусами векторами, и интеграл, выражающий постоянство полной энергии системы (см. Механика). Только для случая n = 2 (задача двух тел) можно произвести остающиеся два интегрирования: тела движутся по эллипсам около общего центра инерции (см. Эллиптическое движение). Случай n = 3, знаменитая задача "трех тел", уже не поддается математическому анализу. Кроме упомянутых 10 интегралов, не найдено больше ни одного. Лагранж привел остающиеся 8 интегрирований к 7 (пять уравнений первого порядка, одно — второго) и одной квадратуры. Это — единственное упрощение, какого сумели достигнуть в общей задаче трех тел. Лагранж показал еще, что задача решается в частном случае, если вначале предположить, что отношения расстояний между тремя телами сохраняют постоянную величину (три тела или находятся неизменно на одной прямой, или составляют равносторонний треугольник). Пуанкаррэ нашел, что при некоторых частных случаях начальных положений и скоростей тел взаимные расстояния их могут быть выражены периодическими функциями от времени. Брунс доказал, что для общего случая задачи трех тел не существует никаких других алгебраических интегралов, кроме 10 известных; Пуанкаррэ дополнил, что (с известными ограничениями) недостающие для решения задачи интегралы, т. е. зависимости между координатами тел, не могут быть изображены в конечном виде никакими функциями и знаками, подлежащими изучению современного математического анализа. Линдштедт показал, что если представить взаимные расстояния тел под видом бесконечных рядов, каждый член этих рядов выразится периодическими функциями от четырех аргументов. Если бы даже нашли способы и знаки выразить конечное решение задачи трех тел, общий случай движения четырех тел представил бы, вероятно, новые неразрешимые трудности. — В нашей системе масса Солнца в 700 раз превосходит сумму масс всех планет. Движение планет поэтому обусловлено главным образом притяжением самого Солнца; является возможным пренебречь сначала влиянием остальных планет, рассматривать движение Солнца и какой-либо планеты как задачу двух тел (см. Эллиптическое движение), затем постепенными приближениями ввести те изменения, какие производят в эллиптическом движении остальные планеты. Дифференциальные уравнения относительного движения планеты около Солнца имеют вид: d ²x/dt² + f(M + m)(x/r³) = d Ω /dx,

(такие же уравнения для координата у и z), где f — коэффициент притяжения, M и т — массы Солнца и планеты, r — расстояние планеты до Солнца. Влияние остальных планет выражено частной производной, взятой по соответственной координате от так назыв. пертурбационной функции Ω. Возможность такого выражения обусловлена существованием потенциала для сил тяготения. Пертурбационная функция имеет вид

Ω = Σfm_i[(1/ Δ i) — (xx_i + yy_i + zz_i)/r_i³)]

где знак суммы нужно распространить на все влияющие планеты, значки Δ изображают взаимные расстояния планет. Члены пертурбационной функции, заключающие множители 1/Δ i, выражают непосредственное взаимодействие планет, остальные члены — воздействие планет на Солнце (вследствие чего несколько изменяется искомое относительное движение планеты около Солнца). Подобные уравнения движения можно составить, напр., для полярных координат планеты. Предполагая mi = 0, т. е. пренебрегая влиянием остальных планет (иначе говоря, величинами m_i сравнительно с М), получим уравнения эллиптического движения. Координаты планеты выразятся как функции от времени (t) и шести постоянных произвольных интегрирования (элементов эллиптической орбиты планеты). Действие остальных планет обусловливает уклонения от эллиптической орбиты, так назыв. возмущения. Являются понятия о невозмущенном и возмущенном движении. Выражения, зависящие от пертурбационной функции, получают название возмущающих сил. Вместо того, чтобы рассматривать возмущения координат, можно считать, что сам эллипс орбиты непрестанно изменяет свое положение и фигуру, применяясь к возмущающим силам планет, т. е. считать элементы эллипса переменными величинами, а возмущения планеты переводить на возмущения элементов орбиты. Таким образом, вместо трех искомых координат вводят шесть новых переменных [большую полуось эллипса (а); эксцентриситет его (е); долготу перигелия (π); наклонность (t); долготу узла ; эпоху (Т)]. Выгода такого приема состоит в том, что значительные изменения координат x, y, z можно интерпретировать сравнительно малыми переменами элементов; во-вторых, вместо трех уравнений второго порядка имеем шесть уравнений первого порядка: первые производные по времени от элементов выражаются линейно через частные производные пертурбационной функции по элементам. Если в выражения возмущающих сил в дифференциальных уравнениях движения вставить значения координат и элементов невозмущенного движения, то тем самым будут отброшены члены высших порядков относительно масс. Получаются, таким образом, возмущения первого порядка относительно масс; затем, подставляя в те же дифференциальные уравнения новые, возмущенные значения переменных, получатся возмущения второго порядка и т. д. В существовании таких последовательных приближений относительно масс и заключается возможность исследовать движение солнечной системы. Системы значений элементов переменного эллипса для какого-либо момента времени называются оскулирующими, соприкасающимися элементами (по такому эллипсу "соприкасания" двигалась бы планета, если бы с данного момента исчезли возмущающие силы). — Вычисление возмущений можно вести по так называемому методу "частных" возмущений, основанному на механических квадратурах (см. Интегральное исчисление): зная для какого-нибудь момента положение возмущающих и возмущаемого светил, определяют численно возмущающую силу; затем из дифференциальных уравнений движения с помощью механических квадратур получают приращения координат, обусловленные этой силой, следовательно, положение светила для следующего момента; снова находят приращения и переходят к третьему моменту и т. д. За промежуток между моментами обыкновенно принимают от 1 до 40 дней. Частные возмущения вычисляют или для прямоугольных координат (способ Энке), или для полярных — широты, долготы, радиуса вектора (способ Титиена), или непосредственно для элементов эллипса. Эти способы прилагают обыкновенно к светилам, которых движение исследуется лишь для небольшого промежутка времени (как, напр., кометы), часто также к малым планетам. Совершенно иной характер носит метод общих, или абсолютных, возмущений. Здесь ищется выражение координат или элементов в аналитическом виде. Для частных возмущений необходимо последовательно переходить от одного момента к другому, в абсолютных же получается сразу значение для какого угодно момента простой подстановкой в формулу аргумента — времени. Вычислению абсолютных возмущений, выводу общих формул движения или, как говорят, "теорий" планет посвящено большинство работ в небесной механике. Как уже сказано, точное интегрирование дифференциальных уравнений движения невозможно, т. е. невозможно представить формулами движение в конечном виде, необходимо употреблять приближенные, крайне неудобные методы разложения в бесконечные ряды. Помимо классификации возмущений на порядки относительно масс, пертурбационную функцию, в которой выражены возмущающие силы, разлагают в ряд вида ∑ PCosQ, где коэффициенты P — функции от отношения полуосей орбит возмущаемого и возмущающего светил, от наклонностей и эксцентриситетов их орбит, а аргумент Q — линейная функция от средних долгот планет, долгот перигелиев и узлов орбит:

n и ε — среднее движение и долгота эпохи (см. Эллиптическое движение), j, j', k, k', l, l' какие-либо положительные или отрицательные целые числа (некоторые из них могут быть нулями), причем j + j' + k + k' + l + l' = 0. Степень же коэффициентов P относительно наклонностей и эксцентриситетов не ниже абсолютного значения суммы j + j'. Если, как это имеет место в планетной системе, наклонности и эксцентриситеты достаточно малы, коэффициенты P далеких членов разложения тоже малы и можно ограничиваться сравнительно немногими самыми значительными членами. В противном случае (напр. для комет, где наклонность и эксцентриситет могут быть какие угодно) такие ряды вовсе не сходятся и необходимо употреблять специальные приемы и разложения пертурбационной функции. Каждый член разложения пертурбационной функции дает соответствующий периодический член в возмущениях элементов, т. е. эти возмущения представятся тоже рядами ∑ RCosQ или ∑ RSinQ, где время (t) входит под знаками синусов или косинусов. Это — так назыв. периодические возмущения или неравенства. Могут встретиться члены разложения, где j = j' = 0: время не входит в них под знаком косинуса; при интегрировании по времени оно появится вне знака косинуса, т. е. получатся члены вида At, где А — постоянная величина. Это — так назыв. вековые возмущения. В то время, как при существовании одних только периодических возмущений орбиты светил колебались бы лишь в известных пределах, возвращаясь время от времени в прежнее положение, при наличности вековых возмущений изменения растут непрерывно и должны привести систему в полное расстройство. Одна из главнейших задач небесной механики — выяснить, насколько появление вековых возмущений вызвано исключительно недостатком методов разложения в ряды, определить, свободна ли в действительности солнечная система от вековых возмущений, другими словами, доказать устойчивость солнечной системы [Здесь вопрос об устойчивости поставлен под условием наличия лишь внутренних сил солнечной системы, рассматриваемой как система материальных точек. Приливные взаимодействия светил, вызывающие превращение количества вращательного в количество поступательного движения, возможное существование междупланетной среды, оказывающей сопротивление движению, увеличение масс планет путем падения на них метеоритов, мена и рассеивание различных видов энергии (см. Энергия, Энтропия) — играют не менее важную роль в эволюции солнечной системы, в общем вопросе об ее устойчивости; размер же и характер влияния этих факторов трудно подвергнуть учету. Кроме того, мы ровно ничего не знаем о возможном действии на нашу систему внешних сил; напр. о возможности встречи солнечной системы с посторонним ей небесным телом значительной массы.]. Знаменитая теорема Лапласа-Лагранжа состоит в том, что в первом порядке масс большие полуоси эллипсов не имеют вековых возмущений, т. е. планеты не могут непрестанно приближаться или удаляться от Солнца, звездные обороты их вокруг солнца в среднем неизменны. Пуассон доказал ту же теорему для возмущений второго порядка относительно масс. Однако здесь появляются уже члены вида AtCos(at + β), т. е. амплитуда, размах периодических колебаний растет непрестанно, и потому в строгом смысле устойчивости системы теорема Пуассона не дает определенного ответа. Для третьего порядка масс появляются уже вековые возмущения полуосей. Все остальные элементы имеют вековые неравенства уже в первом порядке масс. Однако эти результаты не доказывают отсутствия устойчивости, вековые возмущения различных порядков могли явиться именно вследствие распределения возмущений по степеням масс, напр. от скрытого разложения периодического неравенства с множителем Sin mt по степеням малой величины массы m. Лагранжу удалось, ограничиваясь первым порядком массы и третьими степенями наклонностей и эксцентриситетов, выделив до интегрирования члены, дающие вековые возмущения, получить эти возмущения в конечном и даже периодическом виде. Лаплас показал, что для последнего нужно только, чтобы все планеты двигались в одну сторону. Вычисления, основанные на современном положении орбит больших планет, дали, что эксцентриситеты и наклонности этих планет не могут никогда превзойти некоторых пределов. Это был новый шаг к доказательству устойчивости солнечной системы. Теория эта, однако, не может ответить на вопрос, что произойдет с небольшой массой, помещенной где-нибудь между большими планетами? Леверрье указал даже такое положение для малой планеты, где наклонность ее орбиты непрерывно увеличивалась бы. Вековые возмущения не зависят от положения светила на орбите, а лишь от взаимного положения орбит. Отсюда — метод Гаусса для вычисления вековых возмущений: он заменяет возмущающую планету равной ей массой, распределенной известным образом по всей орбите. Кроме вековых, в солнечной системе играют громадную роль периодические возмущения долгого периода. Если средние движения (п и п') планет близки к соизмеримости, то найдутся такие j и j', что nj + n'j' будет близко к нулю, т. е. период соответственного неравенства очень велик. При интегрировании же по времени nj + n'j' входит делителем, и потому коэффициенты таких неравенств могут быть весьма велики. Сюда относится, напр., так наз. "великое" неравенство Юпитера и Сатурна, которых средние движения относятся между собой почти как 5 к 2. Это неравенство может изменять долготу Сатурна до 1°. Движение Урана относится к движению Нептуна как 2 к 1; соответственное неравенство долгого периода сказалось в наблюдениях Урана и повело к открытию Нептуна. — Теории спутников планет, с одной стороны, проще теорий планет, так как взаимодействие остальных спутников планеты сказывается меньше, с другой же стороны, прибавляется возмущающее действие Солнца, и, кроме того, для спутников уже нельзя пренебрегать фигурой планеты, считать ее материальной точкой, приходится вводить особые возмущения, обусловленные сжатием планеты. Совершенно отдельное место занимает теория Луны. Благодаря близости мы можем с большей точностью изучать ее движение, а потому должны быть изучены все неравенства высших порядков не только от Солнца, от сжатия Земли, но и от планет. Подробнее об этом см. Луна, а также Эвекция. — Как упомянуто выше, для комет вычисляют почти исключительно частные возмущения. Возмущения достигают громадных размеров, если комета весьма близко пролетает мимо большой планеты, как, напр., Юпитера. Комета может проникнуть даже в так назыв. сферу действия планеты, где притяжение планеты будет преобладать над притяжением Солнца. Планетоцентрическая орбита кометы, вообще говоря, должна быть гипербола, так как комета влетает в сферу действия со скоростью большей, чем какая могла быть вызвана притяжением самой планеты. Орбита гелиоцентрическая кометы может быть искажена вследствие такой встречи с планетой до полной неузнаваемости (см. Кометы). Тиссеран доказал, однако, что при всяких возмущениях известная функция от полуоси, наклонности и эксцентриситета орбиты кометы должна оставаться почти неизменной. По этому инварианту, или критериуму, Тиссерана (вытекающему из особого вида интеграла живой силы, указанного Якоби) можно судить, составляют ли две кометы два появления одного и того же светила или нет. — В классических приемах Лагранжа, Лапласа и др., завершенных вычислительными трудами Леверрье, основной идеей служит метод изменения постоянных произвольных, за первое приближение берется всегда Кеплеров эллипс, и уклонения от него представляются в виде рядов. Все ряды, встречающиеся в небесной механике, настолько сложны, что крайне трудно исследовать вопрос о сходимости их. Нужно сказать, что сходимость ряда в строго математическом смысле слова даже вовсе не нужна; требуется лишь уверенность в том, что, останавливаясь на некотором члене и отбрасывая остальные, мы делаем ошибку, не превышающую известный предел. Но если основываться на Кеплеровом эллипсе, можно получить ряды явно расходящиеся и постепенные "приближения" могут даже только ухудшать результат. Ввиду этого явилась потребность уже в первом приближении не ограничиваться эллипсом, а вводить при интегрировании наиболее влиятельные члены пертурбационной функции и за исходную точку принимать не эллипсы, а другую, более сложную кривую, которую определить геометрически нельзя, так как для каждого отдельного случая, для каждой отдельной планеты получается особая кривая. — Переходом к новым приемам небесной механики служат работы Ганзена и Делоне. Метод Ганзена приложен им к абсолютным возмущениям малых планет и к теории Луны. Идеальные координаты, понятие о которых введено Ганзеном, обладают тем свойством, что они сами и их первые производные по времени выражаются совершенно одинаково как в невозмущенном движении, так и в возмущенном. Вместо того, чтобы изменять систему элементов, Ганзен варьирует время, вводит понятие о возмущенном времени. Таким образом, напр., возмущенная истинная аномалия в возмущенном движении так же выражается через возмущенное время, как невозмущенная через "простое" время (значение терминов аномалия истинная, средняя и т. д. см. Эллиптическое движение). Вместо разложений по периодическим функциям от средней аномалии Ганзен употреблял разложения по эксцентрической аномалии. Другой отличительной чертой служило то, что Ганзен оперировал с рядами, коэффициенты которых имеют численный (а не аналитический) вид. Этим достигается быстрота вычислений в ущерб изяществу вывода и возможности поверки. Дифференциальные уравнения, которыми он обыкновенно пользовался, определяют полярные координаты: логарифм радиуса вектора, долготу (или возмущенное время) и синус широты. Средними элементами за данный промежуток времени Ганзен назвал средние значения из всех оскулирующих элементов для различных моментов этого промежутка; пользование ими представляет известные выгоды. — Метод Делоне состоит в следующем: выбираем в пертурбационной функции наиболее значительный член и, интегрируя дифференц. уравнения, принимая этот член во внимание, получим некоторую систему элементов орбиты; подставляем их в основное уравнение; тогда выбранный член пертурбационной функции пропадает, остальные несколько изменятся. Снова отбираем следующий наиболее влиятельный член, снова интегрируем и получаем новую, несколько измененную орбиту; тогда пропадет после новой подстановки и второй отобранный член и т. д. Делоне употребил этот прием в своей теории Луны. После нескольких подстановок, однако, мелкие неравенства появляются в таком обилии, что затрудняют ведение дальнейших выкладок. Сам Делоне и также Эри видоизменяли несколько способ, подбирая выражения для этих неравенств так, чтобы готовый уже комплекс их удовлетворял условию задачи сразу и для следующего приближения. Делоне и Ганзену принадлежат лучшие теории Луны. Изыскания новейших авторов касаются лишь отдельных вопросов теории Луны или даже упрощенных случаев движения. — Вейлер сделал попытку заменить разложения в ряды последовательными частными интегрированиями все более и более малых величин. — В теории Луны и некоторых других вопросах попадаются члены, где входят делителями вековые изменения перигелиев и узлов. Эти изменения сами по себе — порядка возмущающих масс, и вследствие этого соответственные члены, формально имеющие множителем малую массу, в действительности могут быть нулевого или даже отрицательного измерения относительно возмущающих масс. Такие члены, названные Гюльденом элементарными и гиперэлементарными, конечно, совершенно недопустимы в разложениях. Гюльден дал общие методы, как посредством заблаговременного введения в формулы векового изменения перигелия и узла избегнуть появления этих членов, разрушающих всякую сходимость рядов. Другие члены, соответствующие неравенствам долгого периода, зависящие от близкой соизмеримости средних движений планет, Гюльден называет характеристичными (для данной планеты). Может случиться, что коэффициенты таких членов, обыкновенно довольно большие, крайне изменяются в зависимости от того, какие значения средних движений планет приняты: истинные или полученные из наблюдений, искаженные еще различными неравенствами долгого периода. Здесь, как и в некоторых других частных вопросах, проще всего устанавливать наиболее верное значение коэффициента путем чисто вычислительных проб. Эти члены названы критическими. Цель Гюльдена — освободить формулы совершенно от времени вне знаков периодических функций, по возможности избегая разложений по степеням масс, и дать решение в конечном виде, хотя бы пренебрегая различными возмущениями малого периода, лишь бы полученное решение представляло движение с достаточной точностью на какой угодно промежуток времени. Такие решения названы Гюльденом абсолютной орбитой. Так как они еще вообще оказываются недостижимыми, приходится довольствоваться приближениями — промежуточными орбитами. Раз движение планеты устойчиво, орбита ее вся должна умещаться в полости между двумя сферами (с центром в солнце), кроме того, орбита не должна выходить из области, ограниченной двумя параллельными плоскостями, пересекающими эти сферы. Орбиты, удовлетворяющие этим условиям получили название периплегматических кривых. Расстояние между сферами, которых попеременно касается кривая, названо диастэма; эта величина может быть переменна в зависимости от вида различных завитков кривой. Расстояние между плоскостями, ограничивающими орбиту, носит название анастэмы. Эти две величины представляют как бы обобщение эксцентриситета и наклонности орбит. Величина, аналогичная полуоси Кеплерова эллипса, названа Гюльденом протометр. Необходимость подобного обобщения геометрического представления орбит особенно ясна для Луны и малых планет. Труд Гюльдена — абсолютные орбиты больших планет — остался неоконченным. — Пуанкаррэ в своих изысканиях исходил из упрощенной задачи трех тел (движение происходит в плоскости, масса третьего тела исчезающе мала сравнительно с другими); затем он распространил полученные результаты и на более общие случаи задачи. Он показал, что существуют такие начальные положения и скорости, когда решение будет периодическое: тела принимают через известный промежуток времени прежнее взаимное положение. Однако периодические решения могут встретиться только в виде исключения и, вообще говоря, должны служить только первым приближением. При отыскании орбит, мало отличающихся от периодических решений, появляются множители вида Ε ^{— α t} где Ε — основание Неперовых логарифмов, α — названо Пуанкаррэ характерическим показателем. В зависимости от того, получится ли α мнимое или действительное, соответственное решение (орбита) будет устойчиво или нет. Решение называется асимптотическое, если при t = ∞ оно стремится совпасть с периодическим решением. Геометрически можно представить периодическое решение замкнутой кривой, а асимптотическое — спиралью, завитки которой неизменно приближаются к этой кривой. Исследования Пуанкаррэ еще мало приложимы к вопросам действительного движения планет; впрочем, некоторые его результаты находят иллюстрацию в теории Луны и малых планет. Вообще, новейшие методы небесной механики, весьма интересные в теоретическом отношении (так как они могут давать решения, годные на неопределенные периоды времени), для точного вычисления положений планет на известный небольшой промежуток времени не дают никаких преимуществ перед "классическими" приемами.