(мат.). — В ст. Дифференциальное исчисление уже объяснено, что такое Ф. и какие Ф. называются явными и неявными, однозначными и многозначными. В ст. Трансцендентные функции дано определение этих Ф. и указано их отличие от алгебраических Ф. К сказанному следует еще прибавить несколько замечаний. Предположим, что y есть Ф. от независимой переменной x. Может случиться, что эта Ф. определена не для всех значений x, а только для некоторых. Например, Ф.

y = 1∙2∙3∙...(x — 1)∙x

определена только для целых положительных значений x. При

x = 1, 2, 3, 4...

y = 1, 1∙2, 1∙2∙3, 1∙2∙3∙4,...

Функция

y = 1 + x + x² + x³ +...

определена для вещественных или комплексных значений x, модули которых меньше единицы. Ф. вида

y = p₀xⁿ + p₁x^n—1 + p₂x^n—2 +...+ p_n—1x + p_n,

где коэффициенты p₀, p₁, p₂,..., p_n данные числа, называется целой функцией n -ой степени. Она определена при всяком вещественном или комплексном x. Частное двух целых Ф. называется дробной функцией. Она определена для всех значений x, при которых знаменатель не обращается в нуль. Целые или дробные Ф. называются рациональными. Очень часто это название придают только дробным Ф. Если в выражении u^v буква v есть Ф. от x, а u величина постоянная, то u^v есть показательная Ф. Если же v — постоянная, а u Ф. от x, то u^v — степенная Ф. Может случиться, что u и v одновременно Ф. от x. В таком случае u^v называется степенно-показательной Ф. Определение этих Ф. вполне ясно из ст. Степень. Если в выражении y = a^x, где a данное число, примем y за независимую переменную, то x называется логарифмической Ф. от y (см.). В тригонометрии встречаются Ф. тригонометрические и круговые (см.). Из других Ф. особого внимания заслуживают: шаровые (см.), цилиндрические (Бесселевы, см.), эллиптические (см.) и ультраэллиптические (см.).