— Во многих вопросах математики чистой и даже прикладной встречаются формулы и математические выражения, в которых заключаются четыре или более переменных величин, каждая из которых, независимо от прочих, может иметь всевозможные положительные или отрицательные величины, заключающиеся между (-∞) и (+∞). Отсюда проистекает идея о пространствах, имеющих четыре измерения, пять измерений и большее число измерений. Линия, прямая или кривая, имеет одно измерение; поверхность, плоская или неплоская, имеет два измерения, объем или часть того, что мы называем реальным пространством, имеет три измерения, но пространства четырех или большего числа измерений мы в наглядном виде представить себе не можем. О реальном пространстве трех измерений мы имеем полное и ясное представление. Относя его к трем взаимно перпендикулярным осям и плоскостям координат и называя координаты точек его через x, y, z, может сказать, что во всем пространстве x можем иметь всякие величины между (-∞) и (+∞), вместе с тем y может иметь всякие величины между (-∞) и (+∞) и вместе с тем z может иметь всякие величины между (-∞) и (+∞). Пространство это неограниченно. Часть его, ограниченная шестью плоскостями x=+a /2 и х =-a/2, y=+a /2 и y=-a/2, z=+a/2, z=-a /2, образует объем, а именно куб, стороны или ребра которого равны а. Точки пространства, заключающиеся внутри куба, имеют всякие координаты x, y, z, заключающиеся между пределами: + a /2 и - a /2. Куб ограничен шестью гранями: на грани, заключающейся в плоскости x=a /2, координаты y и z могут иметь всякие величины, заключающиеся внутри пределов + a /2 и - a /2. Подобное этому можем сказать и о пяти остальных гранях. Каждая пара соседних граней имеет общие ребра. Куб может быть изображен на плоскости по правилам перспективы. Если картинная плоскость параллельна одной из граней куба, а точка зрения находится над серединой грани, то куб изобразится так: наружная грань изобразится квадратом, задняя грань изобразится квадратом меньших размеров, стороны которого параллельны сторонам первого квадрата, боковые же грани изобразятся трапециями, непараллельные стороны которых соединяют вершины наружного квадрата с ближайшими к ним вершинами внутреннего квадрата. Подобным же образом можно получить перспективные изображения остальных пяти правильных многогранников: тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, причем боковые грани уже не будут правильными треугольниками или пятиугольниками, только грани, параллельные картинной плоскости, останутся правильными.

Обратимся теперь к пространству четырех измерений. Каждая определенная точка его есть место, для которого величины x, y, z, v имеют определенные значения. Во всем неограниченном пространстве x может иметь всякие величины между +∞ и (-∞), вместе с тем y может иметь всякие величины между +∞ и (-∞), z может иметь всякие величины между +∞ и (-∞) и v — всякие величины между +∞ и (-∞) . Представим себе, что мы отделим от всего пространства часть его, такую, чтобы внутри ее величины x заключались между пределами (+ a /2) и (- a /2), величины y между теми же пределами, точно так же z и v между такими же пределами. Границами такой части пространства четырех измерений будут служить тогда 8 объемов трех измерений, а именно: 1) куб, координаты всех точек которого x, y, z заключаются в пределах(+ a /2) и (- a /2), причем v=(+a /2); 2) куб, для которого v=(-a /2), а координаты x, y, z заключаются в пределах + a /2 и (- a /2); 3) куб, для которого z=(+a /2), а координаты точек которого x, y, v заключаются в пределах + a /2 и - a /2 и т. д. Эти восемь кубов или восемь ячеек образуют границы части пространства четырех измерений, а ограничиваемая ими часть называется правильным восьмиячейником. По аналогии с правильным шестигранником, каждые две соседние ячейки имеют общую грань, например на кубе v=+a /2 грань z=+a /2 и на кубе z=+a /2 грань v=+a /2 есть общий им квадрат, координаты точек которого x и y заключаются в пределах (+ a /2) и (- a /2). Подобно тому, как правильный многогранник может быть изображен в перспективе на плоскости, каждый многоячейник может быть представлен моделью в реальном пространстве следующим образом. Сделаем из проволок остов куба v=+a /2 и остов другого куба меньших размеров, изображающей ячейку v=(-a /2). Поместим второй внутри первого так, чтобы соответственные ребра были параллельны; затем соединим проволоками или нитями каждую вершину наружного куба с ближайшей к ней вершиною внутреннего куба, тогда образуется шесть трапецоэдров или усеченных пирамид с квадратными основаниями, представляющих остальные шесть ячеек.

По аналогии с правильными многогранниками, число таких правильных многоячейников четырех измерений ограниченное, а именно: пятиячейник, в котором ячейки суть тетраэдры; восьмиячейник, шестнадцатиячейник, состоящий из тетраэдров, двадцатичетырехячейник, состоящий из октаэдров, стодвадцатиячейник из додекаэдров и шестисотячейник из тетраэдров.

Различные аналогии между формулами, теоремами и свойствами геометрических тел трех намерений и формулами, теоремами и свойствами тел многих измерений изложены в отдельных статьях, помещенных в различных математических журналах, но мы еще не имеем достаточно полного сочинения по теории многомерных пространств.