— Э. интегралами называются все квадратуры вида:

∫f(x,√ X)dx,

где Х есть какой-либо многочлен (полином) третьей или четвертой степени от х; f есть

какая-либо рациональная функция от х и √ X. Все такие интегралы могут быть выражены в интегралах первого, второго и третьего рода.

Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:

где Δφ означает корень:

Δφ = √(1—k ²Sin² φ).

Значит F есть функция от φ, верхнего предела φ, заключающая в себе еще постоянную величину k, называемую модулем.

Если положим х = Sin φ, то интеграл F(φ), который теперь обозначим через u, будет иметь вид:

Так как u есть функция от φ, то, обратно, φ есть функция от и. Эту обратную функцию называют амплитудой от и по модулю k. Ее обозначают так: φ = аm(u, k) или просто φ = аm u. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием u функция аm u возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда φ достигает величин ½, π, ³/₂ π, 2 π,...., то и достигает величин K, 2K, 3K, 4K......, где

Величины х = Sin φ , √(1—х ²) = Cos φ и Δφ суть Э. функции от и; так как φ = аm u, то:

х = Π (и,а) = A; √(1—x²) = Cos am u,

√(1—k²x²) = Δ amu;

эти функции от и называются синус амплитуда, косинус амплитуда, дельта амплитуда. Из вышесказанного следует, что:

d φ = d.amu = du. Δφ = Δ amu.du. (3)

Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:

а если, согласно предыдущему, ввести вместо d φ выражение (3) его в du, то отсюда, следуя обозначению Якоби, получим:

При φ равном ½π, когда u (по формуле (2)) обращается в K, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой Е:

а по формуле (5):

Е = Е(К).

Дополнительным модулем назыв. величина k', квадрат которой равен (1— k²), так что

k² + (k')² = 1. Означим через Δ ₁ φ следующий корень:

Δ ₁ φ = √ [1 — (k)² Sin² φ ]

и составим следующие интегралы:

Лежандр показал, что между четырьмя величинами K, Е, К' и E существует следующая зависимость:

KE' + K'E—KK' = ½ π (7).

Интегралы третьего рода имеют такой вид:

Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:

где А = k² Sin am a Cos am а Δ am а.

Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции Θ (u) или θ (x), называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:

Θ (и) = 1 — 2qCos2x + 2q⁴Cos4x — 2q⁹Cos3x + 2q¹⁶Cos8x —... (9)

или в виде суммы бесконечного числа членов

Θ (u) = θ (x) = ∑(—1)ⁿqⁿ²e^2nxi ... (10).

Здесь х имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:

x = π u/2K, q = exp(— π K´/K), i = √(—1),

n в сумме ∑ означает всякие целые полож. и отриц. числа от —∞ до + ∞.

При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:

E(u) = (E/K) u + Θ '(u)/ Θ (u) ... (11)

Π (u,a) = u Θ (a)/ Θ '(a) + ½ log[ Θ (u—a)/ Θ (u + a)], (12),

где Θ '(u) означает производную от Θ (u) по u.

Из функции θ (х) Якоби составляет еще три функции следующим образом.

Если прибавить к и величину K, то к х прибавится величина π/2, а если прибавить к u величину (— iK'), то к х прибавится ¹/₂ ilogq. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:

θ _ (х) = is θ (x + ¹/₂ ilogq)

θ ₂ (х) = s θ (x + π /2 + ^½ ilogq)

θ ₃(x) = θ (x + π /3),

где s = (q)^1/4 e ^—x.

В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:

Sin am u = (√k) ^-1[ θ ₁(x)/ θ (x)],

Cos am u = √(k´/k) θ ₂(x)/ θ (x),

Δаm u = √k' [ θ ₃(x)/ θ (x)],

где x = π u/2K.

Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.

Если и есть комплексная переменная (см. Мнимые величины): и = х + yi, то каждая из этих функций обратится в Х + Yi , где Х и Y будут функциями от x и у, т. е.:

Х = f₁(x, y,), Y = f₂(x, y).

Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы х и ординаты у. Обе эти поверхности периодичны и имеют период 2К параллельно оси абсцисс и другой период 2К' параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: (х, y), (х + 2К,у), (х, y + 2K'), (x + 2K, у + 2К') одинаковы.

Вейерштрасс (см.) в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:

Нижний предел s этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от u; эту функцию обозначим так: s = pu;

квадрат её производной по u выразится так:

(p'u)² = (dpu/du)² = 4(pu)³ — g₂pu — g_3. (14).

Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:

4[(рu — e ₁)(pu — e₂)(pu — e₃)],

где е ₁, е ₂, е ₃ суть три корня уравнения третьей степени 4 y³—g₂y —g₃ = 0. Величины g₂ и g₃ называются инвариантами этого уравнения. Составленное из них выражение

Δ = g³₂—27g³₂

называется дискриминантом уравнения. Если он положительный, т. е. Δ>0, то все три корня уравнения действительные. Мы условимся называть через е ₁ больший, через е ₂ средний и через е ₃ меньший корень, причем е ₁ положительная величина, е ₃ — величина отрицательная. Сумма е ₁ + е ₂ + е ₃ равна нулю. Когда дискриминант отрицательный, то только один корень, который назовем через е ₂, действительный, два другие мнимые сопряженные; тот, у которого мнимая часть положительная, означим через е ₁. В этом случае, конечно, также е ₁ + е ₂ + е ₃ = 0.

Функция pu имеет два примитивные периода

и 2ω ₃ = 2K/[√(e₁ — e₃ )],

причем р ω ₁ = е ₁, рω ₃ = е ₃, а если положить ω ₂ = ω ₁ + ω ₃, то р ω ₂ = е ₂.

Величины k² и k'² выражаются так:

k² = (е ₂— е ₃ )/ (е ₁— е ₃), (k')² = (е ₁— е ₂ )/(е ₁— е ₃).

Когда k² есть действительная величина, то точки 0, 2 ω ₁, 2 ω ₃ находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.

Когда k² есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, 2ω ₁, 2 ω ₃, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины k² отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.

Функция pu может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:

рu = e₃(e₁—e₃)/ [Sin²am(u√(e₁—e₂)];

отсюда не трудно выразить в pu все три Э. функции.

Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию σ u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

рu = (d²/du² ) log(σ u).

Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: "Fundamenta nova theorise functionum ellipticarum" (в 1-м томе "Jacobi's gesammelte Werke", Б., 1881); Dur ège, "Theorie der elliptischen Func tionen" (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, "Trait é des fonctions elliptiques" (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, "Principes de la th é orie des fonctions elliptiques" (П., 1897); Schwarz, "Formeln und Lehrs ätze zum Gebrauc he der elliptischen Functionen, nach Vorlesungen und Anzeichnungen von Weierstrass"; Enneper, "Elliptische Functionen, Theorie und Geschichte" (2-е изд., Галле, 1890).